PROPOSTA DE MATERIAL DIDÁTICO PARA O ENSINO MÉDIO DE MATEMÁTICA: ALGUMAS MEDIÇÕES ASTRONÔMICAS REALIZADAS NA ANTIGUIDADE

1. RESUMO

O objetivo deste artigo é apresentar uma proposta de material didático para o ensino médio de Matemática sobre algumas medições astronômicas realizadas na Antiguidade, contribuindo com um ensino de Matemática interdisciplinar e voltado para a explicitação de sua aplicação prática. A metodologia utilizada para a elaboração do presente material didático se baseou em pesquisa bibliográfica sobre medições astronômicas realizadas na antiguidade associada à transposição didática, ou seja, a transformação do conhecimento científico em conhecimento escolar. Apesar do presente material didático não ter sido testado na prática docente, existe possibilidade de êxito no aprendizado dos alunos de ensino médio, tendo em vista que foram utilizados conceitos prévios dos alunos como “pontos de ancoragem”. O assunto foi abordado como aplicação prática de conhecimentos de geometria estudados no ensino fundamental e médio de Matemática, tais como trigonometria no triângulo retângulo, semelhança de triângulos, comprimento de circunferência e propriedades de retas paralelas cruzadas por uma transversal.

Palavras chave: Geometria. Medições astronômicas. Antiguidade.

2. INTRODUÇÃO PROBLEMATIZADORA E OBJETIVO

Como construir um material didático sobre medições astronômicas realizadas na Antiguidade para estudantes do ensino médio? Que conceitos e informações um professor de Matemática pode utilizar com a intenção de apresentar aplicações práticas de conhecimentos de Geometria em medições astronômicas para alunos do ensino médio? Como fazer a transposição didática, ou seja, a passagem do saber científico para o saber escolar? Este trabalho busca propor um material didático sobre medições astronômicas na Antiguidade que atenda da melhor forma possível aos questionamentos já citados.

3. JUSTIFICATIVA

Por que elaborar um material didático sobre medições astronômicas realizadas na antiguidade para alunos do ensino médio? A justificativa principal para a elaboração do referido material didático é contribuir com suporte bibliográfico voltado para um ensino de Matemática interdisciplinar e para a explicitação de sua aplicação prática.

Com o referido material didático, podemos mostrar ao aluno a aplicação prática de conhecimentos matemáticos de trigonometria no triângulo retângulo, semelhança de triângulos, comprimento de circunferência e propriedades de retas paralelas cruzadas por uma transversal. Além disso, o referido material pode atender algumas competências e habilidades desejáveis aos alunos do ensino médio de Matemática previstas nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCN-EM) e nas Orientações Educacionais Complementares dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCN-EM+), tais como:

[...] • aplicar os conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas. [...]

 [...] • Adquirir uma compreensão do mundo da qual a Matemática é parte integrante, através dos problemas que ela consegue resolver e dos fenômenos que podem ser descritos por meio de seus modelos e representações.

 • Reconhecer relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento, percebendo sua presença nos mais variados campos de estudo e da vida humana seja nas demais ciências, como a Física, Química e Biologia, seja nas ciências humanas e sociais, como a Geografia ou a Economia, ou ainda nos mais diversos setores da sociedade, como na agricultura, na saúde, nos transportes e na moradia.

4. METODOLOGIA UTILIZADA NA ELABORAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO

A metodologia utilizada na elaboração do referido material didático, adequado a alunos do ensino médio, se baseou em pesquisa bibliográfica associada à transposição didática (transformação do conhecimento científico em conhecimento escolar).

5. O MATERIAL DIDÁTICO: ALGUMAS MEDIÇÕES ASTRONÔMICAS REALIZADAS NA ANTIGUIDADE

5.1. AS MEDIÇÕES ASTRONÔMICAS DE ARISTARCO DE SAMOS

Aristarco de Samos foi um astrônomo grego que viveu entre 310 AC e 230 AC. Aristarco buscou comparar as distâncias Terra-Sol e Terra-Lua. Os cálculos e medições de Aristarco se encontram em sua obra “Sobre os tamanhos e distâncias entre o Sol e a Lua”. Ele foi um dos primeiros cientistas a propor um modelo heliocêntrico para o sistema solar.

Vamos aqui descrever, resumidamente, o método utilizado por Aristarco para comparar as distâncias Terra-Sol e Terra-Lua.

Utilizando observações das fases da Lua, ele verificou que quando a Lua aparece com a metade do seu disco iluminado (fase do quarto crescente ou do quarto minguante), a Terra, a Lua e o Sol formam um triângulo retângulo com a Lua ocupando o vértice do ângulo reto. Essa disposição dos astros é chamada de quadratura.

Observando a mudança das fases da Lua, Aristarco mediu o ângulo â da figura acima e obteve 87º. De posse do ângulo de 87º, Aristarco não utilizou a trigonometria tal como a conhecemos hoje, mas usou métodos equivalentes a leis ou fórmulas trigonométricas e concluiu que a distância Terra-Sol é aproximadamente 19 vezes a distância Terra-Lua.

Utilizando a Trigonometria que conhecemos hoje, chamando de TL e TS os segmentos de reta que unem Terra-Lua e Terra-Sol respectivamente e designando por â o ângulo entre TS e TL, temos:

cos â = (cateto adjacente ao ângulo â) / (hipotenusa) = TL/TS

Calculando para â = 87º, valor medido por Aristarco, temos TS = 19 TL. Já para â = 89,86º, valor aceito hoje, temos aproximadamente TS = 400 TL.

O método proposto por Aristarco de Samos para comparar as distâncias Terra-Sol e Terra-Lua estava correto, no entanto, era difícil, com os meios que dispunha na época, determinar com precisão o momento exato do quarto crescente (ou quarto minguante) e o ângulo â entre os dois segmentos que unem Terra-Sol (TS) e Terra-Lua (TL).

Aristarco tentou comparar, ainda, os diâmetros da Terra, da Lua e do Sol.

Aristarco observou que o Sol e a Lua têm o mesmo “tamanho angular” para um observador aqui na Terra. Esse fato pode ser comprovado pelo eclipse total do Sol, pois quando ocorre tal eclipse, o disco da Lua encobre completamente o disco do Sol. Para mais detalhes, vamos ver a figura abaixo. Podemos verificar que os triângulos retângulos TLL’ (ângulo reto em L’) e TSS’ (ângulo reto em S’) são semelhantes.

Assim sendo, conforme dados de Aristarco, temos:

TL/TS = LL’/SS’ → 1/19 = LL’/SS’ → SS’ = 19.LL’

Aristarco de Samos estimou que o raio do Sol é 19 vezes maior que o raio da Lua. Hoje sabemos que o raio do Sol é 400 vezes maior que o raio da Lua. Para comprovar essas informações de Aristarco, podemos citar Nogueira (2009, página 112):

[...] Ele estimou que o Sol deveria estar 19 vezes mais distante da Terra que a Lua e, portanto, ter diâmetro 19 vezes maior que o dela. O erro foi grande. Na verdade, hoje sabe-se, o Sol é 400 vezes maior em diâmetro e mais distante que a Lua.

Observando o eclipse da Lua, Aristarco obteve ainda outros resultados que não serão tratados aqui neste trabalho. No quadro abaixo, temos um resumo dos resultados de Aristarco e dos valores aceitos atualmente.

A maior aproximação de Aristarco de Samos foi na razão entre o diâmetro da Lua e o diâmetro da Terra. No entanto, segundo Gleiser (1997, página 78), os erros de Aristarco

[...] não se devem a erros matemáticos, mas a erros em seus dados astronômicos, erros esses perfeitamente razoáveis se nos lembrarmos de que todas as medidas astronômicas até então (e durante praticamente os 2 mil anos seguintes) eram feitas a olho nu.

Para quem quiser se aprofundar no assunto, a obra de Aristarco de Samos “Sobre os tamanhos e distâncias entre o Sol e a Lua”, editada e traduzida para o português em 2016 por Rubens Eduardo Garcia Machado, se encontra disponível para leitura com licença “Creative Commons” nositehttps://ia800208.us.archive.org/33/items/AristarcoDeSamosTamanhosDistanciasSolLua/AristarcoDeSamosTamanhosDistanciasSolLua.pdf (acessado em 30/12/2023).

5.2. A MEDIÇÃO DO COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA DA TERRA POR ERATÓSTENES DE CIRENE (290 AC – 220 AC)

Eratóstenes de Cirene, geógrafo, escritor, matemático e diretor da Biblioteca de Alexandria, foi o primeiro cientista a determinar o comprimento da circunferência da Terra de maneira precisa.

Eratóstenes descobriu que ao meio dia do solstício de verão, o Sol iluminava o fundo de um poço na cidade de Siena (hoje Assuã), ou seja, o Sol estava no zênite (na vertical). Também ao meio dia do solstício verão, desta feita na cidade de Alexandria, Eratóstenes verificou que o Sol não estava no zênite. Como Alexandria ficava ao norte de Siena e aproximadamente no mesmo meridiano, Eratóstenes mediu, em Alexandria, o ângulo entre o topo de uma coluna vertical e os raios de Sol incidentes, encontrando o valor corresponde a 1/50 avos de um arco de 360º, ou seja, 7,2º. Em seguida, ele mediu a distância entre Siena e Alexandria, provavelmente utilizando, segundo algumas fontes, uma pessoa treinada em andar a passos iguais. Outras fontes, no entanto, sugerem que Eratóstenes se baseou no fato de que uma caravana de camelos percorria a distância entre Siena e Alexandria em 50 dias e que os camelos viajavam a uma velocidade de 100 estádios por dia. Assim sendo, a distância entre as duas cidades seria de 50x100 estádios, ou seja, 5.000 estádios. Tendo a informação da distância entre as duas cidades (5.000 estádios) e do comprimento do arco de circunferência entre as duas cidades (1/50 avos da circunferência terrestre), Aristarco concluiu que a circunferência da Terra mede 5.000x50 estádios, ou seja, 250.000 estádios. Conforme afirma Plínio em sua “História Natural”, o estádio de Eratóstenes mede 157,5 metros. Assim, a circunferência da Terra calculada por Eratóstenes seria de 39.375 Km, valor muito próximo do que é aceito hoje, ou seja, 39.940 Km (medida pelos polos) e 40.075 Km (medida pelo equador).

A precisão no resultado final de Eratóstenes foi influenciada pelos seguintes fatores: falta de padronização da dimensão de um estádio (para um estádio egípcio de 185 metros, o cálculo resultaria numa circunferência terrestre de 46.250 Km), a Terra não é uma esfera perfeita, Siena e Alexandria não estão exatamente no mesmo meridiano, além disso, com os meios da época era difícil obter precisão na medição de longas distâncias.

Detalhes do método utilizado por Eratóstenes:

Considerando que os raios solares incidentes na esfera terrestre são paralelos e fazendo uma observação, durante o solstício de verão, nas cidades de Siena e Alexandria, obteremos os seguintes resultados:

a) Em Siena, um raio solar terá a direção zenital (vertical), ou seja, a direção de incidência do raio solar coincidirá com a direção radial da esfera terrestre. Em outras palavras, a direção do raio solar atinge o centro da Terra.

b) Em Alexandria, o Sol não está no zênite (vertical), ou seja, a direção do raio solar formará um ângulo â com a direção radial do planeta Terra, que é igual ao ângulo central da circunferência terrestre (â), conforme podemos comprovar pela geometria de retas paralelas cruzadas por uma transversal.

c) Ao ângulo central da circunferência terrestre (â) corresponde o arco de circunferência (d) que vai da cidade de Siena até à cidade de Alexandria.

Recorrendo a uma regra de três simples e diretamente proporcional, temos:

Para o ângulo â >>>>>>>>>>>>>>>  d

Para o ângulo de 360º >>>>>>>>>  C (comprimento da circunferência terrestre)

Utilizando agora os dados obtidos por Eratóstenes, temos:

C = d . (360º/â) = 5000 estádios. (360º/7,2º) = 5000 estádios. 50

C = 250.000 estádios

Considerando que 1 estádio = 157,5 m, temos:

C = 250.000 (157,5 m) = 39.375.000 m = 379.375 Km

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

6.1. POSSIBILIDADE DE APRENDIZAGEM DO MATERIAL DIDÁTICO

Vamos propor a aplicação deste material didático em alunos a partir do 1º ano do ensino médio. Assim sendo, serão necessários os seguintes conhecimentos prévios: trigonometria no triângulo retângulo, semelhança de triângulos, comprimento de circunferência e retas paralelas cruzadas por uma transversal.

Vamos partir da hipótese de que o presente material didático poderá ser compreendido por alunos do ensino médio. Para apoiar a referida hipótese, podemos recorrer a um dos fundamentos da teoria da instrução de Jerome Bruner citada por Lacomi (2007, páginas 42 e 43):

ESTRUTURA – Qualquer conteúdo pode ser transmitido e compreendido por qualquer aluno desde que esteja adequadamente ESTRUTURADO OU ORGANIZADO COGNITIVAMENTE. Isso não significa que uma criança de 6 anos pode aprender a TEORIA DA RELATIVIDADE, mas, se a explicação dada for adequadamente estruturada, a ideia central de Einstein pode ser entendida por ela, que pode até dar sua própria explicação sobre essa teoria.

Além da questão da ESTRUTURA de Jerome Bruner, existem conhecimentos prévios dos alunos do ensino médio que poderão ser usados como facilitador na aprendizagem do conteúdo do presente material didático. Lidaremos, então, com a teoria dos “pontos de ancoragem” da aprendizagem significativa de David Ausubel. Conforme Ausubel (1985), citado por Lacomi (2007, páginas 48 e 49):

Na APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA, nós relacionamos um novo conteúdo, ideia ou informações com conceitos existentes na nossa estrutura cognitiva (pontos de ancoragem para a aprendizagem). Quando isso ocorre, essa nova informação é assimilada pela nossa estrutura. Por exemplo, para que um novo conceito seja assimilado pela nossa estrutura cognitiva, segundo a teoria piagetiana, é necessário que o conceito já esteja lá como PONTO DE ANCORAGEM. Se isso acontece, os pressupostos da teoria de Piaget serão assimilados, ou seja, para que possamos aprender conceitos novos.

Assim, no caso do presente trabalho, alguns possíveis pontos de ancoragem para a aprendizagem dos alunos estão informados no quadro a seguir:

Em hipótese alguma, o referido material didático pretende levar o aluno de ensino médio a ser um profundo conhecedor de medições de distâncias astronômicas da antiguidade, e sim mostrá-lo a aplicação prática de alguns conhecimentos de Matemática na compreensão de alguns exemplos de medições astronômicas realizadas na Antiguidade.

O referido material didático ainda não foi testado na prática docente. No entanto, a aprendizagem do conteúdo tem chance de êxito, conforme justificativas já abordadas.

6.2. POSSIBILIDADE DE UTILIZAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA

Este artigo poderá ser analisado por outros professores e outros profissionais da área de ensino, que, por sua vez, possivelmente, poderão aperfeiçoá-lo e utilizá-lo, por exemplo, na docência do ensino médio como material alternativo complementar.

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARAÚJO, Acenilso Lima de. Aplicações de Astronomia no Ensino de Matemática na Educação Básica. 2013. 83 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) – Universidade Federal do Piauí, Piauí. 2013.

ARISTARCO DE SAMOS. Sobre os tamanhos e as distâncias do Sol e da Lua. Traduzido e editado por Rubens Eduardo Garcia Machado, Santiago, 2016. Disponível em: https://ia800208.us.archive.org/33/items/AristarcoDeSamosTamanhosDistanciasSolLua/AristarcoDeSamosTamanhosDistanciasSolLua.pdf. Acesso em: 30 dez. 2016.

ASIMOV, Isaac. Gênios da Humanidade. Rio de Janeiro: Editora Bloch, 1976.

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. A Geometria e as distâncias astronômicas na Grécia Antiga. In Explorando o Ensino da Matemática, vol. II, páginas 39-46.

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Aristarco e as dimensões astronômicas. Revista do Professor de Matemática, SBM, São Paulo, nº 55, p. 1-10, 2004.

BERTRÁN, Santiago. História de La Ciencia. Buenos Aires: Editora Atlantida,1946.

BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: USP, 1974.

GLEISER, Marcelo. A Dança do Universo: dos mitos de criação ao Big Bang. São Paulo: Companhia das Letras, 1987.

LAKOMY, Ana Maria. Teorias cognitivas da aprendizagem. Curitiba: Intersaberes, 2014.

MASON, Stephen Finney. História da Ciência. Porto Alegre: Editora Globo, 1964.

MOURÃO, Ronaldo Rogério de Freitas. Dicionário Enciclopédico de Astronomia e Astronáutica. Rio de Janeiro: CNPQ, 1987.

NOGUEIRA, Salvador. Astronomia: ensino fundamental e médio. Brasília: MEC, 2009.