OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA MOBILIZADOS NA EXPOSIÇÃO DA AULA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA DO ENSINO FUNDAMENTAL

1. Resumo

O presente trabalho teve como contexto situar as formas de comunicação do professor polivalente de matemática na sala de aula do ensino fundamental. Em face deste pressuposto, nosso objetivo foi observar, categorizar e analisar os registros de representação semiótica, conforme Raymond Duval (2003), mobilizados por uma professora polivalente de Matemática do Ensino Fundamental de uma escola pública da cidade de São Paulo. Foi escolhido o tema Geometria, pois parte dos professores apresentam dificuldade no ensino deste conteúdo, revelado pelos baixos índices qualitativos da educação e pelo fato de Duval (2003) realizar pesquisas envolvendo a Geometria com relação aos registros de representação semióticos. Na parte metodológica, a pesquisa se efetivou pela observação presencial em sala de aula, gravação de áudio e registro fotográfico (lousa, livros e atividades extras) dos registros de representação semiótico mobilizados por uma professora polivalente através do acompanhamento de uma sequência de aulas sobre poliedros, corpos redondos e retos. Os resultados da pesquisa nos revelaram que as transformações e conversões acontecem de modo implícito nas manifestações das aulas da professora polivalente. Acreditamos que a consciência da importância dos tratamentos e conversões dos registros de representação semióticos para a preparação das aulas, poderia contribuir em muito para a aprendizagem da Geometria, visto que esta não ocorre de forma espontânea.

Palavras-chave: Registros de Representação Semiótica; Raymond Duval; Geometria; Ensino Fundamental; Professor polivalente.

Abstract

The present work had as context to situate the forms of communication of the polyvalent teacher of mathematics in the classroom of the elementary school. Facing this assumption, our objective was to observe, categorize and analyze the semiotic representation records, according to Raymond Duval (2003), mobilized by one polyvalent female teacher of Mathematics of Elementary Education in a Public School at São Paulo city. It was chosen Geometry because some of the teachers present difficulties in teaching this content, revealed by the low qualitative indexes of education and by the fact that Duval (2003) carry out many researches involving Geometry in relation to these semiotic representation registers. In the methodological aproach, this research was carried out by the observation in classroom, audio and photographic record (blackboard, books and extra activities).

mobilized by a teacher through the follow-up of a sequence of classes on polyhedra, round bodies and straight. The results of this research revealed that transformations and conversions happen implicitly in the manifestations of the classes of the polyvalent teacher. We believe that the awareness of the importance of the treatments and conversions of the semiotic representation registers for the preparation of the classes could contribute a great deal to the learning of Geometry, since it does not occur spontaneously.

Keywords: Semiotic Representation Records; Raymond Duval; Geometry; Elementary School; Elementary Teacher.

2. INTRODUÇÃO

Nosso interesse em desenvolver um trabalho envolvendo os registros de representação semiótica provém da necessidade do conhecimento, por parte do professor de ensino básico e superior, do domínio e uso didático das várias linguagens advindas da área da Matemática.

Nossa preocupação se apoia em alguns resultados preocupantes a partir de avaliações nacionais de rendimento estudantil. De acordo com a Prova Brasil (2013), apenas 11% dos alunos possuem um nível de aprendizado adequado ao 9º Ano do ensino fundamental e cerca de 37% dos alunos estão abaixo do nível básico.

Neste sentido, na Prova Brasil são exigidos:

[...] números e operações; álgebra e funções; reconhecer o maior ou o menor número em uma coleção de números racionais, representados na forma decimal; tratamento de informações Interpretar dados apresentados em tabela e gráfico de colunas (GLOBO, 2014, p.1).

Este indicador reflete a qualidade do ensino, que aliados ao SAEB (Sistema de Avaliação da Educação Básica) e PISA (Programme for International Student Assessment) diagnosticam falhas no ensino de matemática da Educação Básica e a dificuldade nos diversos conceitos da disciplina.

Estudos realizados por Pavanello (2004), Almouloud, Silva e Campos (2004), Almeida (2006) e Coutinho e Moran (2014) buscaram encontrar, por meio das avaliações nacionais e internacionais, o motivo para os baixos índices. Entre eles, os pesquisadores destacam a insegurança por falta do professor, a omissão dos conteúdos durante as aulas, a dificuldade em gestar o material didático, a falta do incentivo e de conhecimento de caráter educativo para reconhecer a importância e aplicação dos conteúdos matemáticos.

Relacionado ao professor, as influências de sua formação e referentes ao âmbito profissional, afetam diretamente a maneira que se propõe a ensinar. Lorenzato (1993 apud Almouloud, 2004) indica duas possíveis causas dos professores se omitirem em relação ao ensino de geometria: a primeira diz respeito com o conhecimento que o professor tem de geometria, sendo por vezes insuficientes para desenvolver as práticas didáticas; a segunda remete à falta de formação e também a exaustão dos professores devido as grandes cargas de trabalho, o que provoca um uso exagerado do livro didático.

Os PCN, descritos em Brasil (1998), relatam que estão entre os objetivos gerais do ensino de matemática: identificar os conhecimentos matemáticos de forma que promova o mundo à sua volta; estabelecer relações entre o conhecimento matemático e a sociedade, comunicar-se matematicamente, sendo capaz de resolver situações problemas. Para que esses objetivos sejam alcançados os Parâmetros Curriculares Nacionais propõem algumas metodologias de ensino diferenciadas.

Apesar da preocupação apresentada nos PCN, Brasil (1998), quanto ao ensino de matemática, diversos aspectos podem influenciar na dificuldade da aprendizagem em matemática e esses aspectos podem estar ligados ao aluno ou ao professor. Levando em conta esses fatores, discutimos a relação entre os registros utilizados pelo professor e a compreensão gerada no aluno na sala de aula.

Considerando-se como fonte os trabalhos de autores como Duval (2003) e Colombo, Flores e Moretti (2008), assumimos, por hipótese, que o trabalho didático com as linguagens matemáticas, realizado em sala de aula pelo professor, pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática.

Inicialmente, nos remetemos à origem etimológica da palavra ‘semiótica’. Em busca de alguns dicionários da língua portuguesa, como Aurélio (2003), encontramos que o termo provém do grego semeîon, cujo significado é ‘signo’, e sêmea, que também denota ‘signo’ ou ‘sinal’.

Com relação ao desenvolvimento histórico da semiótica, sua origem foi na Grécia Antiga, sendo contemporânea ao nascimento da filosofia. Atribui-se o estudo da semiótica a Platão e Santo Agostinho, e é realizado desde o século IV a.C.

Mais atualmente, no século XX d.C., destaca-se na área da semiótica o trabalho de Charles Sanders Peirce, cientista lógico, que caracterizou esta área como o processo de significação, ou seja, a produção de signos. Para Peirce (1995 apud Moretti 2002):

Um signo, ou representamen, é aquilo que, sob certo aspecto ou modo representa algo para alguém. Dirige-se a alguém, isto é, cria na mente dessa pessoa, um signo equivalente, ou talvez um signo mais desenvolvido. Ao signo assim criado denomino interpretante do primeiro signo. O signo representa alguma coisa, seu objeto. Representa esse objeto não em todos os aspectos, mas com referência a um tipo de ideia que eu, por vezes, denominei fundamento do representâmen (apud COLOMBO; FLORES; MORETTI, 2008, p. 46).

Em particular, o estudo da representação semiótica, na área da Matemática, encontrou suporte em um pesquisador internacional: Raymond Duval (2003). Para este autor, a representação dos objetos matemáticos tem grande importância no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

Com base nesses dados e nas preocupações dos profissionais da educação referente ao processo de ensino e aprendizagem, além do fato, de estar em uma licenciatura e refletir sobre a prática docente, propomos um estudo dos registros de representação semiótica mobilizados por docentes da área de Matemática, realizado a partir das observações em sala de aula e analise, tendo como referencial o Figura teórico desenvolvido por Raymond Duval.

Para Duval (2003), as representações semióticas são elaborações produzidas pela aplicação dos signos pertencentes a um sistema de representações que possui intervenções próprias de signos e funcionamento. Essas representações são essenciais à atividade cognitiva do pensamento e podem mostrar um mesmo objeto de diversas formas.

A mobilização deve ocorrer com no mínimo dois registros simultâneos, sejam eles numéricos, algébricos, geométricos ou naturais. Essa necessidade é explicada, pois os registros apresentam limitações, daí a necessidade de utilizarmos outro sistema de expressão e representação.

Esses registros podem ser classificados em dois tipos de transformação. O primeiro é o tratamento, quando são transformações do objeto dentro do mesmo registro, por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação (DUVAL, 2003, p.16). O segundo é a conversão, quando o objeto muda de registro, por exemplo, reconhecer a escrita algébrica de uma equação em sua representação gráfica (DUVAL, 2003, p.16).

Segundo Duval (2003), na Matemática, existe a necessidade de realizar os tratamentos e as conversões, pois isso implica na incitação dos sistemas cognitivos para a atividade matemática. Desta forma, o aluno precisaria mobilizar as representações e ser capaz de convertê-las.

Em síntese, o presente trabalho de conclusão de curso tem por objetivo observar, categorizar e analisar os registros de representação semiótica mobilizados por um professor polivalente de Matemática do Ensino Fundamental de uma escola pública da cidade de São Paulo.

No primeiro capitulo apresentaremos o Referencial Teórico do nosso trabalho, apresentando o histórico da pesquisa de Raymond Duval, suas motivações e as características dos registros de representação semiótica, em especial no estudo da geometria. Apresentaremos também respaldos baseados em outros pesquisadores da representação Semiótica.

O segundo capítulo retrata nosso estudo de caso sobre Formas Geométricas, baseado em sequência de aulas de matemática no ensino fundamental.

No terceiro capítulo analisamos o ensino de Geometria, em especial o assunto de corpos redondos, poliedros e retas, baseado na teoria de representação semiótica de Duval.

O quarto capítulo relata as conclusões sobre o estudo de caso, bem como recomendações futuras.

3. REFERÊNCIAL TEÓRICO

Em busca de contribuir para o processo de ensino em Matemática, nossa pesquisa se propôs a verificar a linguagem utilizada nas aulas, visto que as interações aluno-professor acontecem em função dos vários tipos de registro próprios desta disciplina.

Essa relação linguagem-aprendizagem nos direcionou na busca de um referencial que abordasse os registros utilizados em sala de aula. Encontramos Raymond Duval, que direciona seus estudos para a área da Didática da Matemática e, em especial, do estudo dos registros de representação semiótica.

O filósofo e psicólogo Raymond Duval, pesquisador francês e professor emérito da Universidade do Littoral Côte d’Opale, na cidade de Bouloge-sur-mer, desenvolveu, desde a década de 70, pesquisas na área da Psicologia Cognitiva e, em especial, com enfoque na área da aprendizagem em Matemática.

Após a conclusão de sua tese em 1970, que abordava, com base em Piaget, o desenvolvimento matemático em crianças e adolescentes, Duval foi convidado para acompanhar a reforma da Matemática Moderna no IREM (Instituto de Pesquisa sobre o Ensino de Matemática) de Strasbourg. Essa reforma se baseava em estrutura, operação e conjunto, em termos descritos por Piaget como estruturas operatórias e ação.

As pesquisas de Duval se dividiram em duas frentes: a primeira foi sobre a compreensão de demonstrações (aplicada com turmas de doze a quinze anos) e a segunda, a importância da variedade de linguagem, que foi consequência da primeira linha.

Duval (2013) percebeu durante seus estudos que a língua natural do aluno era a primeira linguagem de entendimento. No caso de ensino de Geometria, vale relembrar que nesta época as figuras geométricas eram proibidas, devido ao contexto religioso da época e, como consequência, a transmissão de conhecimento era confusa. Devido essas barreiras, houve necessidade de compreender os símbolos, operações, lógicas e sinais, para exemplificação da geometria.

Duval percebeu a importância da passagem e mudança de registro e, juntamente com outros professores, elaborou questionários para averiguar as relações realizadas pelos alunos na formulação na língua natural, das letras e dos conjuntos. Porém, Duval abandonou essas duas linhas de pesquisa. Com relação a primeira, devido a insuficiência das pesquisas piagetianas, pois esta se baseava principalmente na estrutura matemática, o que dificultava a compreensão em Geometria. Quanto à segunda, Duval questionava o consenso dos professores em definir a matemática unicamente por meio de conceitos, não percebendo a importância da linguagem, cujo papel era reduzido a códigos.

Após esses percalços em torno da opção da Matemática Moderna, a educação passou por mudanças. Um dos cenários de discussão se situava no importante papel que a leitura e a compreensão de textos, e consequentemente de enunciados, tinha para o ensino de Matemática. Surge, então, uma nova orientação dos estudos de Duval, em que este problematizou a pesquisa a um assunto presente em todas as disciplinas: a interpretação.

Neste momento, Duval guiou as pesquisas para a produção de esquemas, que organizavam as informações do texto e redes, que relacionavam as informações do discurso. Duval (2013) se questionou: “[...] que tipo de representação é a mais pertinente para dar conta não apenas de um texto, mas de um raciocínio dedutivo, de uma argumentação, de uma escrita simbólica?” (p.13).

Após esses questionamentos Duval retoma, em 1986, suas antigas pesquisas, agregando novas compreensões: visão completa dos aspectos matemáticos sejam pelo uso das letras, variáveis, construção de figuras, interpretação de gráficos e tabelas, buscando perceber a movimentação que os alunos faziam entre esses aspectos. Nesse momento se questiona se os alunos conseguem compreender o que é preservado quando ocorrem às mudanças de representação e se conseguem reconhecer quais conteúdos são pertinentes à matemática.

Em busca de entender se os alunos compreendiam as mudanças de representação, Duval elaborou um questionário sobre o reconhecimento de funções lineares e afins. Este questionário se baseava na mudança das representações gráficas para a escrita, e era composto com retas em várias posições em um plano cartesiano, mudando as características de sinal, número oposto, constantes.

O resultado do questionário mostrou a variação nas respostas durante a mudança das representações, expondo o déficit dos alunos na percepção da transformação de registro. Mostrou se também, que o professor deveria considerar essa dificuldade não apenas como teoria, e sim com o sentido cognitivo da aprendizagem, analisando as transformações de representações semióticas. Os recursos deveriam transitar entre linguagem natural e o uso das representações gráficas e geométricas

Ao buscar uma teoria que pudesse modelar as transformações de representação semiótica na atividade matemática, Duval (2013) se baseia no que Frege havia proposto: a ligação deveria se basear no entendimento sinal-objeto.

Duval (2013) compreendeu que a mudança entre as representações semióticas era possível, porém não conseguia explicar que os tratamentos matemáticos diferenciavam de acordo com a representação semiótica. Duval (2013), ainda em movimento de busca, encontra apoio em Saussure, que considerou que era preciso usar a língua natural como um sistema, com signos e sentido, assim como as figuras e gráficos deveriam ter simbologias específicas, classificando todos os sistemas semióticos.

Buscando um termo para designar esse objeto, Duval (2013) nomeia como ‘registro’ todos os sistemas semióticos utilizados na matemática. O termo foi escolhido, pois Renè Descartes utilizou este termo quando começou a desenvolver a Geometria Analítica e, também, por se referir a diversos recursos como voz, expressões, jogos e instrumentos. Com o projeto organizado, em 1995, Duval apresenta a teoria dos registros de representação semiótica em seu texto “Sémiosis et pensée humaine”.

Neste sentido, Raymond Duval, por meio da psicologia cognitiva, apresentou a ideia de mudança de registros de representação semiótica. Semiosis (do grego), para Duval (2003), é a produção ou apreensão de uma representação semiótica e ‘noesis’ são as ações cognitivas que tendem a apreender o objeto, como o pensamento, a percepção, a imaginação, dentre outras formas, e que envolvem a compreensão das diferenças, conceitos e propriedades. Conforme aponta Duval (2003), semiosis e noesis coexistem no processo de compreensão na Matemática.

Considerando a teoria dos registros de representação semiótica como meios de manipulação dos objetos matemáticos durante o processo de aprendizagem, temos que as representações são “[...] produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representações os quais têm suas dificuldades próprias de significado e funcionamento” (DUVAL, 2003, p.39).

A importância dos signos nas formas de representação também pode ser explicada por Pierce (2000 apud Moretti, 2002), pois o signo criado na mente é capaz de conectar-se a um signo existente para interpretação do primeiro, trata-se da representação e do objeto.

Pierce (2000 apud Moretti 2002) categoriza os signos como: ícone, índice e símbolo, que relaciona respectivamente, os traços comuns com o objeto; relação direta com o objeto; signo originado de uma convenção, sem semelhança ou relação causal. Para Duval (1993 apud Moretti 2002) deve se considerar os sistemas que originam essas representações, mas não os objetos isolados.

O processo pelo qual o ensino de matemática percorre envolve construções mentais e instigam a utilização de diferentes registros de representação.

Diferentemente da Física, da Química ou da Biologia, nas quais os fenômenos são observáveis, na natureza ou em laboratórios, podendo ser estudados em muitas de suas ocorrências, em Matemática, os objetos existem como construções mentais e são conhecidos por meio de suas representações. Isso significa que o ensino–aprendizagem da Matemática precisa levar em conta o par objeto–representação, uma vez que, para possibilitar a compreensão dos objetos matemáticos, é necessário trabalhar com suas representações (BONOMI, 2007, p.2).

Para Duval (2003), os registros podem estar disponíveis na forma verbal, gráfica, numérica e algébrica, podendo ser observados nas ocasiões onde ocorrem descobertas envolvendo propriedades, teorias, axiomas, relações e outros saberes matemáticos (ver Figura 1). 

Figura1: Registros de Representação [Fonte: Dallemole; Groenwald; Ruiz (2014)]

A hipótese que fundamenta a teoria de Duval (2003) é que a compreensão completa de um conceito se dá na coordenação de, pelo menos, dois registros de representação semiótica (ver Figura 2), e se esta manifestação é rápida e espontânea por meio da atividade cognitiva de conversão.

Figura 2: Coordenação de ao menos dois registros [Fonte: Moretti (2002)].

Ainda, Duval (1993 apud Moretti, 2002) aponta que a coordenação de ao menos dois registros deve ocorrer por meio de duas operações: a conversão ou o tratamento.

Para o autor, o fenômeno da conversão retrata as transformações quando o sistema de representação muda em relação ao mesmo objeto. Por exemplo, ao se interpretar o enunciado de uma situação-problema e se explicitar uma equação algébrica estaremos convertendo um registro de representação em língua natural em linguagem algébrica.

Porém, nas diversas etapas que geralmente surgem na resolução de uma equação, cada passagem situa o fenômeno do tratamento, visto que as transformações se situam em uma e somente uma forma de registro algébrico.

Bonomi (2007) pondera que a matemática foi constantemente motivada pelas regularidades e irregularidades de fenômenos de distintas origens, por meio de perguntas norteadoras que se nutrem da movimentação da sociedade e que alavancam o crescente desenvolvimento da humanidade. Para a autora as formas dos ambientes, a adequação ao espaço, os modelos e as próprias particularidades matemáticas são capazes de promover à continuidade dos estudos.

Entretanto, é importante ressaltar que o objeto matemático não pode ser confundido com a representação semiótica utilizada para representá-lo. Embora seja complexo, Duval (2013) soluciona esse paradoxo de significação, dizendo que mesmo não tendo acesso ao objeto matemático, sabemos que o objeto pode ser representado por meio de várias formas.

Moretti (2002) aponta que a matemática tem uma grande dependência das formas de representação e manipulação dos objetos com que lida. Uma constatação desse fator se encontra na história, que “[...] mostra vários exemplos em que determinadas noções só puderam alcançar certo nível de desenvolvimento a partir do momento em que uma notação adequada foi criada” (MORETTI, 2002, p. 344)

O autor ainda destaca que existem registros próprios que foram desenvolvidos para tratar de conhecimentos específicos da área. Porém, somente um registro não será suficiente para desenvolver toda a representação de certo objeto na Matemática.

Duval (2004 apud Kluppel e Brandt, 2013) interpreta que as dificuldades de aprendizagem estão relacionadas às diferenças dos objetos representados e os representantes, às diversas formas de registro e a coordenação e transformação entre eles. Para o autor, o acesso à compreensão de certo objeto estudado deve passar por dois sistemas, e ter a conversão entre os registros de forma clara. Quando isto não ocorre o objeto e seu representante não apresentam distinções, não permitindo caracterizar representações claras, eficientes e suficientes para garantir a compreensão, de um ponto de vista da Psicologia Cognitiva.

Moretti (2002) destaca que as extensas pesquisas de Raymond Duval observaram o fato de que a área específica da Matemática precisa de algo a mais do que uma boa representação: é necessária a conservação semântica e a transição eficiente entre mais de um tipo de registro de representação semiótico. Nesse sentido, “[...] esta distinção induziu a separar com clareza a significação, que depende do registro de descrição escolhido, da referência que depende dos objetos expressos ou representados” (Duval, 1988 apud MORETTI, 2002, p.345).

Para Duval (2004 apud Kluppel e Brandt, 2013), na utilização dos recursos de aprendizagem o uso de certo registro pode não conseguir alcançar o objetivo desejado. O registro da língua natural nem sempre é de fácil compreensão, pois não contém objetos (números, letras ou figuras) comuns a linguagem matemática.

No que tange à aproximação com a linguagem do aluno, o registro na língua natural pode até acarretar elementos que causem confusão ou informações ambíguas. O autor coloca que os registros não são a definição do objeto, mas manifestam um tipo de representação que desenvolve um conteúdo e podem estar em diferentes níveis de aprendizagem.

A discussão de pesquisa de Duval (1993) se centralizou na seguinte ponderação: “[...] a que corresponde a existência de vários registros de representação e qual é o interesse de sua coordenação para o funcionamento do pensamento humano?” (apud MORETTI, 2002, p. 346).

A partir desta questão, Duval (1993) aponta alguns caminhos. Para Duval (1993 apud Moretti, 2002):

Tendo vários registros de representação é possível haver mudança entre eles e estas mudanças poderão ser mais econômicas e potencializadas. Tendo mais registros, há um aumento potencial de possibilidades de trocas e, por conseguinte, há um aumento também na escolha mais econômica (MORETTI, 2002, p. 346).

Coutinho e Moran (2014) destacam que a oralidade realizada por meio da Linguagem Natural é uma manifestação recorrente durante as explicações, definições, exemplos e formalização de propriedades matemáticas, tanto no discurso como nos registros escritos no quadro negro durante as aulas.

Moretti (2002) utiliza como exemplo diversas e possíveis representações o número um. O número um pode ser escrito como 1, 3-2, 5-4, 3⁰,7/7. Porém, o aluno que facilmente o compreende como 3-2 ou 7/7, nem sempre poderá entender a igualdade para as demais representações.

Moretti (2002) propõe a seguinte discussão: efetuar (a operação da adição no âmbito dos números racionais) de duas formas: a primeira utilizando-se de números fracionários e a segunda com números decimais de mesmo valor. Na primeira forma, opera-se como e na segunda maneira por 1 + 0,25= 1,25.

Apesar da diferente representação, para a mesma proposta de questão, o resultado é o mesmo. Porém, os conteúdos de resolução – as regras de operação e os tipos de símbolos empregados - são distintos. Assim, as duas formas não possuem a mesma natureza, o que acarreta em custo cognitivo diferente, que Duval (1993) denomina congruência semântica entre objetos.

Moretti (2002), retoma o exemplo da operação da adição no âmbito dos números racionais: o aluno pode não saber responder por meio da forma fracionária ou da decimal, ou ainda, se o registro for compreendido, ele será capaz de associar as duas formas.

Uma segunda resposta encontrada por Duval (1993 apud Moretti, 2002) faz referência ao fato dos registros se complementarem em suas possibilidades e potencialidades. Moretti (2002) relembra que a utilização de um só tipo de registro de representação é parcial e pode não revelar o meio mais econômico. Além disso, em cada registro os conteúdos mobilizados são distintos.

Moretti (2002) aponta que somente com o uso da linguagem discursiva não é possível abordar toda a gama de certo conceito e, por este motivo, pode-se acessar a linguagem gráfica ou a linguagem algébrica.

As representações diferentes de um mesmo objeto, não têm evidentemente o mesmo conteúdo. Cada conteúdo é comandado por um sistema pelo qual a representação foi produzida. Daí a consequência de que cada representação não apresenta as mesmas propriedades ou as mesmas caraterísticas do objeto. Nenhum sistema de representação pode produzir uma representação cujo conteúdo seja completo e adequado ao objeto representado (DUVAL, 1999, p. 18 apud MORETTI, 2002, p. 347).

Moretti (2002) destaca na teoria de Duval (1993) a explicação que a conceitualização dos objetos matemáticos demanda uma coordenação de diferentes tipos de representação, associados ao domínio das representações mentais.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais, conforme Brasil (1998) defendem o ensino de geometria, pois ele auxilia o aluno no desenvolvimento da compreensão, descrição e representação do contexto em que ele está inserido. O mesmo documento considera que esse conceito pode ser trabalhado por meio de situações problemas, que estimulam os envolvidos a observar as semelhanças, diferenças e regularidades, dando a ele à possibilidade de exploração dos espaços e formas.

As diretrizes propostas pelo DCE para geometria no Ensino Fundamental I abordam os conceitos de geometria plana, paralelismo e perpendicularismo, estruturas e dimensões das figuras geométricas e planas, e seus elementos fundamentais.

Duval (2004 apud Kluppel e Brandt, 2013) afirma que o processo de aprendizagem da geometria requer atividades cognitivas próprias que não estão ligadas a interação social, e expõe que as propriedades e relações geométricas não estão aparentes nas representações figurais.

Ao falar sobre as exigências que a Geometria necessita, Duval (2004 apud Kluppel e Brandt, 2013, p.5) diz que precisa ter

[...] uma interação entre os tratamentos figurais que por abdução guiam a abordagem heurística, e os tratamentos discursivos que por dedução constituem a abordagem baseada nos objetos representados na figura. Naturalmente, esta interação pode ser bloqueada por fenômenos importantes de não congruência nas múltiplas idas e vindas que requerem a mobilização simultânea destes registros (p.5)

Segundo Duval (2003, apud Kluppel e Brandt, 2013, p.6) alguns pontos permitem que o processo de aprendizagem de Geometria ocorra. Os pontos principais são:

─ as unidades figurais levadas em consideração na resolução de um problema devem ser as diretamente visíveis ou designadas no enunciado;
─ deve ocorrer significação a certas unidades figurais e de algumas relações figurais para representar uma situação geométrica;
─ a resolução do exercício proposto não deve implicar em nenhuma troca de dimensão na sequência de subfiguras;
─ o exercício proposto deve ter lugar em uma série organizada em função de uma variação sistemática dos fatores de visibilidade que facilite a apreensão operatória;
─ deve ocorrer reconfiguração das figuras geométricas: modificações mereológicas e modificações óticas;
─ as unidades de base constituintes dos registros, a articulação das figuras e as modificações das figuras (óticas ou posicionais) devem ser levadas em consideração;
─ Tratamentos figurais e discursivos devem ser efetuados de maneira simultânea e interativa;
─ deve ocorrer a articulação entre figura e discurso: raciocínio dedutivo de maneira local ou global;
─ devem ocorrer mudanças de dimensão ao passar de uma representação figural dos objetos representados ao discurso;
─ deve haver congruência semântica entre o que mostra uma sequência de sub-figuras e o registro discursivo (objetos aos quais se referem as definições e os teoremas que devem ser utilizados para chegar a solução matemática do problema devido a heterogeneidade dimensional das unidades figurais);
─ a resolução do exercício proposto não deve implicar nenhum recurso de raciocínio que exigiriam a utilização de definições ou de teoremas Duval (2003 apud KLUPPEL; BRANDT, 2013, p.6).

Para compreensão da geometria, Duval (1988 apud Moretti 2002) destaca a apreensão perceptiva, apreensão operatória, apreensão discursiva e apreensão sequencial de figuras (obtida na construção geométrica e de figuras).

Duval (1995) inclui que o processo cognitivo da compreensão da geometria contempla:

• visualização para a exploração heurística de uma situação complexa;

• construção de configurações, que pode ser trabalhada como um modelo, em que as ações realizadas representadas e os resultados observados são ligados aos objetos matemáticos representados;

• raciocínio, que é o processo que conduz para a prova e a explicação (apud CARDOSO, 2012, p.10).

Duval (1988 apud Moretti, 2002) explicou que a apreensão perceptiva pode ser dividida em duas partes. A primeira, automática e imediata, se refere a compreensão das formas e, a segunda, a interpretação dos elementos figurais. A diferença dessas fases é o destaque que cada elemento recebe, seja na fase visual, seja na fase da construção de hipóteses.

Os discursos utilizados durante a apresentação do conteúdo se correlacionam. A apreensão perceptiva (por exemplo, a imagem) está subordinada com a apreensão discursiva (por exemplo, a fala do professor), sendo considerada como uma teorização da representação figural (parte do discurso teórico).

Duval (1988 apud Moretti, 2002) diz que a "[...] mesma figura, do ponto perceptivo, pode, deste modo, ser uma figura geométrica diferente se modificamos o enunciado das hipóteses” (p. 356).

Kupplel e Brandt (2012) comentam que “[...] na figura nem sempre é fácil ver as relações ou as propriedades relativas às hipóteses dadas que correspondem à solução desejada, [...] pois são subjacentes a fatores próprios da representação figural” (p. 12).

A utilização dos materiais manipuláveis orientada pelos professores, requeridos principalmente no ensino fundamental, auxilia na exemplificação (passagem abstrato-concreto), além de promover a construção autônoma de conhecimento. Um recurso é a expressão gráfica, que se apropria da utilização de desenhos geométricos.

Ao demonstrarmos, definirmos as propriedades e axiomas estamos utilizando a apreensão discursiva. Para Duval (1988, apud Moretti 2002 p.356) realizar a demonstração geométrica é tratar de uma rede semântica dos objetos e suas propriedades.

A apreensão operatória aborda as modificações e reorganizações que a figura permite e as percepções que as mudanças operam. “A produtividade heurística de uma figura, em um problema de geometria, está ligada a existência da congruência entre uma destas operações e um dos tratamentos matemáticos possíveis para o problema proposto.” Duval (1988, apud Moretti 2002, p.356).

Duval (2011 apud Constantino, 2014) indica que os registros (sejam de tratamento ou conversão), sinalizam as compreensões.

[...] em geometria, mobilizamos a linguagem e a visualização para a desconstrução de formas, em seguida, pedimos os tratamentos em um terceiro registro para calcular as relações numéricas. [...] A conversão das representações é o primeiro limiar da compreensão em matemática. Ela é também o lugar em que se opera a tomada de consciência do funcionamento representacional próprio de cada registro (p.8).

Duval (1988, apud Almouloud 2004) percebe que os conhecimentos perceptivos dos alunos são os primeiros a aparecerem durante a visualização de figuras, e só depois os conceitos geométricos e algébricos. As resoluções requerem raciocínios que procuram uma referência, que se apresenta na língua natural. O autor sugere que para auxiliar o avanço das funções cognitivas podemos agrupar problemas matemáticos que exijam conhecimentos similares.

Sendo assim, Duval identifica três níveis de problemas: Tornando assim os problemas da geometria complexos pela tríplice compreensão. São eles:

Nível 1: aqueles em que há congruência operatória da figura e um tratamento matemático, neste caso uma apreensão discursiva explicita não é necessária.

Nível 2: aqueles em que a apreensão discursiva é necessária, porque não há mais congruência da figura ou porque é explicitamente pedido como justificativa.

Nível 3: aqueles que exigem mais que uma apreensão discursiva, o recurso aos esquemas formais lógicos específicos tais como o raciocínio disjuntivo, o raciocínio por contraposição. (Almoudoud, 20xx, p.5)

Duval (2004 apud Almouloud, 2004) propõe algumas soluções relacionadas a estes problemas. São elas:

• Prática continua dos problemas de congruência operatória e tratamento matemático;

• Criação de redes entre as propriedades solicitadas para a compreensão;

• Distinguir a argumentação escrita, da discursiva e da dedutiva, além da apreensão perceptiva para a discursiva.

No próximo capítulo, passamos a expor os critérios de seleção da escola, dos indivíduos, dos procedimentos e apresentamos os dados coletados durante o acompanhamento de explanação do conteúdo de Formas Geométricas.

4. METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS

Com a intenção de verificar a dinâmica do professor, analisando a mobilização, representação e tratamento dos registros em aulas de geometria, neste capítulo descrevemos os preparativos para a coleta dos dados. Assim, apresentamos os critérios para a seleção do local, a escolha do sujeito de pesquisa e as condições gerais que viabilizaram a realização dessa pesquisa.

Por entender a importância da análise presencial para apuração detalhada dos métodos e da imersão no ambiente escolar para o acompanhamento da dinâmica de aprendizagem, a seguir apresentamos os critérios considerados e os procedimentos adotados para a coleta de dados.

4.1. SELEÇÃO DA ESCOLA

Para a aplicação desta pesquisa, optamos pela busca de uma escola inserida na Rede Pública de Ensino de São Paulo, nas proximidades de Diadema.

As escolas da rede pública participam em sua totalidade de uma avaliação de desempenho chamada Prova Brasil. Segundo o INEP (2018) essa prova tem como objetivo medir a qualidade do ensino/aprendizagem de Língua Portuguesa (Leitura) e em Matemática, e oferecer resultados para as escolas e municípios.

Considerando a Matriz de referência de matemática para a prova Brasil, no contexto de Espaço e Forma, o INEP (2018) requere dos alunos identificação de localização em mapas; identificação das igualdades e diferenças entre poliedros e corpos redondos; identificar as figuras bidimensionais quanto a forma e ângulo; identificar quadriláteros e as posições de suas retas; reconhecer a ampliação e/ou redução das figuras poligonais.

Deste modo, escolhemos uma escola da rede Estadual do município de São Paulo, no bairro do Jabaquara. Em 2017, o índice de matemática para o 05º ano das escolas urbanas do estado de São Paulo foi de 238,80 (Duzentos e trinta e oito inteiros e oitenta centésimos) em matemática, e apesar da nota ser maior que média brasileira (227,85 – duzentos e vinte e sete inteiros e oitenta e cinco centésimos), a média para as escolas urbanas do município de São Paulo foi de 224,66 (duzentos e vinte e quatro, sessenta e seis), abaixo da nota do estado e do país (Brasil, 2018).

A escola selecionada atende aos alunos de primeiro ao oitavo (1º ao 08º) anos, em ambos os turnos. A escola tinha em sua estrutura: quadras, pátios, salas de aula, laboratório de informática (com projetor) e biblioteca.

4.2. ​​​​​​​SELEÇÃO DOS SUJEITOS

A professora que leciona no quinto ano na escola escolhida é formada em pedagogia, curso que apresenta diversas experiências didáticas, e está complementando a formação acadêmica através de uma Licenciatura em matemática, proporcionando uma ampla visão na área. Sua formação em pedagogia- lhe permite transitar em diversas disciplinas (português, matemática, história, geografia e ciências), o que proporciona conexões entre diversos conceitos, nos permitindo observar o ensino de pelo menos, dois ângulos diferentes.

Acreditamos que acompanhar a classe do quinto ano, composta por trinta e dois alunos – vinte e cinco presentes no dia em que foi realizada a coleta de dados desta pesquisa, que está na última fase do ensino fundamental I, possibilitaria uma visão entre dois ciclos, o que ajudaria a compor um Figura para melhor compreender as facilidades e dificuldades dos participantes.

4.3. ​​​​​​​DECISÕES GERAIS

Como investigadores, assumimos um papel de observadores, de modo a registrar as ações da professora. Para a coleta dos dados, optamos pela gravação sonora das argumentações e fotográfico. Esta escolha possibilitou a revisão das informações, além da análise progressiva por meio de protocolos que tais procedimentos nos permitiram durante o desenvolvimento deste trabalho de pesquisa.

O processo de registro e acompanhamento da aprendizagem foi feito durante um período de 03 (três) aulas, que trataram sobre a apresentação de figuras geométricas para o quinto ano. Por se tratar de uma turma dos primeiros anos do ensino fundamental, a professora analisada é polivalente, ou seja, ensina as matérias de matemática, português, ciências, história e geografia. Esse regime permite uma flexibilidade quanto à rotina de ensino da classe, podendo priorizar a necessidade de aprendizagem dos alunos.

4.4. ​​​​​​​A ETAPA DA COLETA DE DADOS

Entre as sugestões de tema, está “Grandezas e medidas” por possuir forte relevância, conexão com diversas áreas do conhecimento permitindo a comparação de fenômenos, além de estar presente no cotidiano. As atividades visam compreender os conceitos de espaços e formas, além dos números e operações.

Os assuntos tratados pela professora na referida aula envolvendo o tema de Formas Geométricas fazem parte do currículo oficial de Matemática, no subtema de Espaço e forma, que nos norteou para essa pesquisa e que pode ser encontrado no PCN, conforme descrito em Brasil (1998):

Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive (p.51).

A professora iniciou a aula conversando com os alunos sobre a palavra Geometria, inclusive sobre a sua origem geo-terra metria-medida. A partir desse momento ela inicia o assunto de figuras geométricas e suas propriedades, mudando do registro de representação semiótica da língua natural para a forma de registro de representação pictórica (as figuras geométricas).

O primeiro assunto tratado pela professora foi sobre corpos redondos, conforme retratamos no Figura 3.

Figura 3: Registros de representação semiótica sobre ‘corpos redondos’ [Fonte: A autora].

A professora iniciou a aula mobilizando registros verbais na lousa, foram esses registros: a definição e um exemplo. Após o término da escrita, a professora revelou a definição de Corpos redondos por registros na língua natural. A definição apresentada foi que os corpos redondos são figuras que possuem superfícies arredondadas e de formato circular.

Depois da explicação por meio de registro de representação verbal na língua natural, a professora citou alguns exemplos de objetos que possuem o formato redondo, como exemplo o botão. A professora solicita mais exemplos dos alunos, e conforme são ditos, a professora utiliza do registro de representação da forma escrita na lousa para completar os exemplos (prato, bambolê, bola, panela’, dentre outros objetos).

Com base nos exemplos, a professora inclui nos registros de representação escrita, os termos que também podem ser utilizados para corpos redondos: círculo, esfera e cilindro, e que cada tipo pode estar em uma dimensão diferente. Após explicação, realiza registro pictórico das formas estudadas.

Os poliedros também foram registrados por representação verbal na lousa e foram definidos como figuras de superfície plana, com retas, conforme destacamos na Figura 4.

Figura 4: Registros de representação semiótica sobre ‘poliedros’ [Fonte: A autora]

A professora utilizou a representação pictórica na lousa para exemplificar um cubo. Para iniciar a apresentação dos poliedros, utilizando novamente os registros de representação verbal escrita e na língua natural, diferente do início da aula sobre geometria, a professora não explicou a origem da palavra poliedro, limitando-se a definição (são as figuras de superfície plana com retas) e descrição dos elementos do poliedro (faces, arestas e vértice).

A professora manteve o padrão do registro de representação semiótica utilizado para corpos redondos, e pediu que os alunos citassem exemplos de objetos utilizados no cotidiano, os alunos citaram dado, tijolo, caixa, televisão e porta. Incluindo no vocabulário dos alunos os termos matemáticos, a professora, usufruindo do registro da língua natural, diz que esses objetos são quadrados, cubos, retângulos e triângulos e que podem estar em duas ou três dimensões.

Após a explanação utilizando os registros de representação na língua natural, verbal e pictórico dos dois tipos de formas geométricas foi realizado um exercício na lousa e alguns exercícios propostos no livro didático EMAI (Educação Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental) para o quinto ano, volume I. Na Figura 5 protocolamos uma das atividades que passamos a descrever.

Figura 5: Uma atividade proposta pela professora [Fonte: EMAI, 2013, p. 59].

Observamos que os exercícios pediam para que os alunos identificassem e catalogassem entre os objetos da sala de aula quais eram corpos redondos ou poliedros, por meio do registro de representação semiótico em língua natural.

A seguir, apresentamos a atividade respondida por um aluno (Figura 6).

Figura 6: A atividade respondida por um aluno [Fonte: Livro do aluno- EMAI]

Na lousa, utilizando o registro de representação verbal com registro pictórico, a professora pediu para que os alunos identificassem entre os desenhos quais eram corpos redondos.

Figura 7: Atividade solicitada em lousa pela professora [Fonte: A autora].

Vale pontuar, que no dia anterior ao início da explanação do conteúdo de figuras geométricas, em parceria com a disciplina de educação artística, foram coloridas e montadas algumas planificações das formas. Essa atividade foi realizada em grupos de três ou quatro alunos, e orientada pela professora de educação artística, utilizando o material complementar do livro de matemática (EMAI, 2013, p.129), que continham cubos, cones, cilindros.

Figura 8: Formas Geométricas montadas pelos alunos [Fonte: A autora].

Após a correção por meio dos registros de representação verbal na língua natural, a professora de matemática solicitou que os alunos utilizassem os materiais montados com a professora de educação artística para identificar a quantidade de arestas, faces e vértices de cada material, e diferenciar os tipos de forma geométrica. A contagem foi feita em grupo, e os alunos utilizaram do registro de representação verbal oral para realizar a atividade proposta.

A professora iniciou a explicação de retas utilizando o registro de representação verbal escrita, e após utilizou a representação na língua natural para explicar a definição de reta: “Reta é uma linha ou traço que segue a mesma direção”. A professora incluiu ainda no registro de representação verbal na língua natural, que as retas podem ser paralelas, que são as retas que estão no mesmo plano, mas não se cruzam; perpendicular é quando acontece o encontro entre duas retas, que resultam em um ângulo reto; e as concorrentes que são o cruzamento de duas retas. Tais registros de representação semiótica em língua natural e pictórica estão descritos no Figura 9.

Figura 9: Lousas com explicação sobre reta [Fonte: A autora].

Após a explicação, novamente foram propostos alguns exercícios do livro complementar utilizado pela professora (Coleção Aprender Juntos- PNLD 2016-2017-2018). Vale lembrar, que apesar dos alunos terem o livro, foi orientado pela professora que eles deveriam copiar o exercício no caderno para poder responder.

O exercício 01 mostrava um mapa de uma cidade, e os alunos deveriam identificar quais ruas eram paralelas e quais eram perpendiculares. Esse exercício, além de tratar sobre as propriedades das retas, também tratava sobre direção e sentido, um conceito necessário para os anos futuros dos alunos (ver Figura 10).

Figura 10: Exercício sobre retas paralelas, concorrentes e perpendiculares [Coleção Aprender Juntos – Livro 04 – p.106].

O Exercício 02 apresentava o desenho de duas retas, com quatro pontos, ABCD, e pedia para que os alunos confirmassem se as retas eram paralelas. O Exercício 03 apresentava um desenho com duas retas, com cinco pontos, ABCDX, e os alunos deveriam identificar o momento em que as retas se cruzavam, se elas poderiam se cruzar em outros pontos (Figura 11).

Figura 11: Continuação do exercício sobre o conceito de retas paralelas, perpendiculares e concorrentes [Coleção Aprender Juntos – Livro 04 – p.107].

Além desses exercícios, a professora solicitou por meio de registros verbais na língua natural, outros exercícios sobre poliedros e corpos redondos.

No Exercício 01 havia uma imagem com poliedros e corpos redondos em forma de objetos, e os alunos deveriam encontrá-los e identificá-los de acordo com a forma geométrica.

No Exercício 02 os alunos deveriam categorizar as imagens em prismas e pirâmides.

Figura12: Exercícios 1 e 2 sobre Poliedros e Corpos redondos [Coleção Aprender Juntos – Livro 04 – p.226].

No Exercício 03os alunos deveriam categorizar as formas em poliedros e corpos redondos (Figura 13).

Figura 13: Exercício de classificação de poliedro e corpo redondo. [Coleção Aprender Juntos – Livro 04 – p.227].

Depois da correção dos exercícios, feita nos cadernos de forma individual, a professora realizou uma conversa, representação de registro verbal na língua natural, revisando os conceitos apresentados na sala. Os alunos, em sua maioria, não sabiam expressar o registro de representação verbal, o que induziu a professora a fortalecer os registros de língua natural, auxiliando os alunos nas respostas. A professora relembrava os exemplos tratados em aula. Por exemplo: “O que é uma reta perpendicular?” e os alunos respondiam “é uma reta...”, a professora reforçava “lembra do jogo de futebol. É uma reta que forma um...”, e depois de alguns segundos os alunos respondiam “ângulo reto”.

Na aula seguinte, antes da mudança de conteúdo, a professora, para reforçar a noção de construção dos sólidos, contou, por meio do registro de representação verbal na língua natural, a história das pirâmides do Egito, que eram utilizadas como túmulos e sugeriu a montagem de uma pirâmide de base quadrada com massinha de modelar e palito. Esses materiais eram limitados, por isso a professora pediu que os alunos contassem quantas arestas e quantas linhas tinham o solido, para poderem pegar a quantidade exata de palitos e massinha.

Percebendo a dificuldade, ao explicar sobre retas perpendiculares, na percepção de ângulos retos, também foram confeccionados cubos com massinha e palito, por serem quadriláteros de lados iguais que possuem esses ângulos (Ver Figura 14).

Figura 14: Material confeccionado com palito de dentro e massinha durante a revisão de formas geométricas [Fonte: A autora].

Em um momento posterior, onde as observações das aulas já estavam encerradas, a professora relatou que a docente de artes, realizou mais uma atividade abordando figuras geométricas. Essa atividade era a composição de figuras utilizando as formas apresentadas (Figura 15).

Figura 15: Atividade realizada na Aula de Educação Artística com formas geométricas [Fonte: A autora].

Após a conclusão das atividades, as docentes de matemática e artes confeccionaram um Figura com as formas geométricas montadas e estudadas e fixaram na parede da classe. Esse Figura tinha a forma montada junto com o seu nome (Figura 16).

Figura 16: Figura confeccionado pelas professoras com formas geométricas. [Fonte: A autora].

5. ANÁLISE E RESULTADOS

Em nossa pesquisa, no momento em que a professora inicia a explicação, ela utiliza o registro de representação semiótico na forma verbal e escrita em língua natural, para expressar a definição dos corpos redondos. Mais especificamente, a professora começou pelo discursivo escrito e passou para o discursivo oral. Entendemos que a professora utilizou a apreensão discursiva, citada por Duval (1988 apud Moretti, 2002), onde teoriza o objeto a ser estudado. Sua definição exposta foi: “são figuras que possuem superfícies arredondadas e de formato circular”. Esta forma pode ser considerada confusa, visto que não houve um referencial figurativo simultâneo (uma representação pictórica), o que ajudaria na compreensão conceitual dos alunos.

Para Duval (2004 apud Kluppel; Brandt, 2013), na utilização dos recursos de aprendizagem o uso de certo registro de representação semiótico pode não conseguir alcançar o objetivo desejado. O registro de representação semiótico na língua natural nem sempre é de fácil compreensão, pois não contêm objetos (números, letras ou figuras), signos que são comuns na linguagem matemática.

Em seguida, a professora citou alguns exemplos e solicitou aos alunos que falassem outros objetos que possuem formatos redondos. Este momento nos sugere uma preocupação, pois é importante lembrar que o objeto não é a sua representação, e essa ação, dependendo do referencial que o aluno tem, pode dificultar a aprendizagem, segundo o referencial de Duval (2003). Somente após a explicação verbal, foi realizada a operação de conversão, pela mudança do registro de representação semiótica em língua natural para o registro de representação semiótica na forma pictórica do conceito de corpos redondos.

No prosseguimento da aula, a professora desenhou um círculo, para representar a forma em duas dimensões, e esfera, para três dimensões. Pudemos observar que a professora realizou a conversão do registro de representação semiótico. Neste momento, a apreensão perceptiva foi aplicada, onde houve a conversão/interpretação para o registro de representação na forma pictórica.

Para Duval (2004 apud Kluppel; Brandt, 2013) a compreensão está relacionada às transformações, pelo menos em torno de duas, entre os vários tipos de registros de representação semióticos. Por exemplo, o referido pesquisador afirma que os tratamentos em língua natural (escrita) e os tratamentos pictóricos precisam acontecer de maneira simultânea e interativa.

Após a explicação dos corpos redondos, a professora utilizou, novamente, o registro de representação verbal e escrito para explicar a definição e as propriedades dos poliedros. Porém, dessa vez, ao escrever sobre as propriedades, a professora fez uma representação de um cubo para exemplificar aresta, face e vértice.

Neste momento, percebemos que a professora utilizou a apreensão perceptiva e discursiva de maneira simultânea, explicando a definição e descrevendo as propriedades.

Quando a professora realizou a transformação de linguagem do objeto (por exemplo: dado, tijolo) para a linguagem matemática, como quadrado/retângulo/cubo acontece um erro de descrição, visto que os poliedros são formados por polígonos. Logo, o quadrado é um polígono e o cubo um poliedro.

Após as explicações da professora, foi solicitada a realização de um exercício que retomava as definições e pedia que os alunos agrupassem objetos com formas de corpos redondos e de poliedros. No exercício não foi visível às referências das unidades figurais solicitadas (vide Figura 03).

A seguir, a professora registrou em língua natural outro exercício, pedindo que os alunos circulassem os corpos redondos. Nesse exercício há figuras tanto em duas, quanto em três dimensões. Novamente ressaltamos que ocorreram descrições confusas, visto que corpos redondos estão em três dimensões, porém o desenho feito é de um círculo, no papel que tem duas dimensões (Figura 05).

Ressaltamos que essa aula foi realizada após uma atividade ministrada pela professora de artes. Apesar de ser interessante a questão multidisciplinar dessa atividade, Duval (2003) relata a importância dos tratamentos serem realizados de forma simultânea, e este caso, a atividade artística se limitou a montagem e nomenclatura.

Após as explicações de corpos redondos e poliedros, a professora explicou o conceito de reta. O termo foi visto anteriormente nas propriedades dos poliedros na definição de arestas, porém não foi definido pela professora.

Na explicação, a professora utilizou a apreensão discursiva e perceptiva, onde fez o registro de representação semiótico em língua natural e figural. A descrição se limitou aos conceitos do nível do aluno, não se aprofundando nos conceitos físicos de direção e sentido.

A professora entendeu que era necessária a complementação de exercícios e utilizou um material complementar (Coleção Aprender Juntos). Nos exercícios realizados pelos alunos as atividades continham a representação figural dos conceitos de retas paralelas, concorrentes e perpendiculares, além da definição a ser revista entre os exercícios. Como Duval (2004apud Kluppel;Brandt, 2013) afirma, é importante à utilização dos registros de representação semióticos simultâneos, e concomitante com a apreensão discursiva e perceptiva.

Também como exercício complementar, foi passada uma atividade de Poliedros e Corpos redondos. O primeiro exercício mostrava uma figura em que continham formas geométricas escondidas. Esse tipo de atividade pode auxiliar o aluno a estabelecer relações entre o conhecimento matemático e o ambiente, conforme objetivo sugerido pelos PCN (BRASIL, 1998), já que entre as questões estavam perguntas como “Onde aparece um objeto que lembra a forma de uma esfera?” (Coleção Aprender Juntos, p. 226).

Os dois exercícios seguintes eram para associação das imagens com o termo matemático (poliedro, pirâmide, prisma e corpo redondo). Esse tipo de exercício procurava a fixação da relação dos conceitos imagem e nomenclatura. Além das figuras auxiliarem intuitivamente, pois ampliam a significação do enunciado.

Após as correções, feitas através da língua natural com o registro verbal, a professora fez uma revisão dos conceitos, onde percebemos certa dificuldade, por parte dos alunos para responder sobre o conteúdo, sendo necessário que a professora auxiliasse na resposta. Isso mostra que a expressão dos envolvidos na aprendizagem não externou a representação.

Em outra aula, a professora promoveu uma atividade de montagem das formas geométricas com palito e massinha, ou seja, uma atividade que envolvia a expressão gráfica. Antes desse momento, a mesma contou sobre a história das pirâmides matemáticas, incluindo um contexto histórico na atividade realizada. Essa atividade foi realizada, pois a matriz de referências do SAEB (2017) contempla a identificação de propriedades dos poliedros, corpos redondos, relacionando-as com figuras tridimensionais e as planificações; além da identificação das retas nos quadriláteros e a identificação de figuras pelo número de lados e ângulos. Como Kupplel e Brandt (2012) relatam a exemplificação por meio da passagem do abstrato para o concreto promove a autonomia no processo de aprendizagem.

A montagem do Tangram realizada pela professora de educação artística também pode auxiliar no reforço dos polígonos, promovendo uma apreensão multidisciplinar aos alunos. Além disso, as diferentes formas de registro de representações semióticas podem apresentar diferentes características aos objetos.

6. CONCLUSÕES

Os registros de representações semióticas são para o processo de aprendizagem matemática um grande suporte para melhoria da apreensão matemática, em especial do ponto de vista cognitivo, pois traz uma estratégia que possibilita o ensino dos vários campos da disciplina.

A estrutura da teoria dos registros de representação semiótica sugere aos envolvidos no processo de aprendizagem uma forma prática para a organização dos conteúdos ensinados. Ao explicar cada tipo de registro e orientar o uso de pelo menos dois, ele direciona os docentes a uma aula objetiva sobre o conteúdo, pois não requer nenhum material fora do contexto da sala de aula.

A grande vantagem da compreensão dos registros semióticos é que ela não se limita a uma determinada fase da vida acadêmica, mas pode acompanhar todos os saberes que serão adquiridos pelos alunos. Vale lembrar que a pesquisa de Duval (2003) se baseou justamente na indagação sobre o problema de interpretação dos alunos em outras disciplinas.

Podemos concluir também, que apesar da docente analisada ser polivalente, sua formação em Matemática auxilia na explicação dos conceitos, pois, conforme dados presentes em Silva (2011) a formação de professores do ensino fundamental em matemática mostra que existem lacunas conceituais referentes ao ensino da mesma, em especial no caso da geometria, visto que em muitos casos não houve apresentação dos conceitos na formação inicial, e pouco se estuda sobre nas formações continuadas.

Referente ao uso das linguagens, o déficit na formação dos professores se mostra durante a explicação na forma verbal o que dificulta a apreensão pelos alunos, então, se torna necessário o uso de mais um registro de representação semiótica para que ocorra uma melhor aprendizagem pelos alunos.

A partir dessa constatação, poderíamos pensar em pesquisas brasileiras que fomentassem uma nova forma de realizar as transformações e conversões, incluindo informações pertinentes a cada fase do aluno, usando materiais que facilitem a compreensão, sendo estimulador do conhecimento e da sua busca. É importante refletir sobre os processos de transformação e conversão dos registros de representação semiótica, já que eles não acontecem de forma clara, o que dificulta o alcance do objetivo maior da Educação, que é a obtenção dos vários tipos de conhecimento.

Relembramos as considerações de Galatti (2006 apud KLUPPEL; BRANDT, 2012), que consideram:

[...] que o livro didático é utilizado pelo professor e que a ação docente tem fundamental importância neste processo, que compreende desde a escolha do livro até a forma de sua utilização em sala de aula. Por essa razão, ―é necessária uma formação adequada ao professor para que este possa utilizá-lo a partir de seu planejamento e ao longo da construção de sua prática, e não como o seu planejamento e a sua prática (p.15).

Devemos considerar que o registro de representação semiótico pode proporcional ao professor uma autonomia relacionada ao processo de construção de uma aula, visto que a utilização dos mesmos poderá auxiliar na mobilização de cada registro, assim o livro didático não será modelo único para as aulas.

Algumas dessas constatações também foram observadas por Almouloud (2007 apud NERES, 2016, p.204). Para esse autor:

A coordenação dos diferentes registros de representação - escrita algébrica, as figuras geométricas, o discurso na língua natural ligados ao tratamento dos conhecimentos - não se opera espontaneamente, mesmo no curso de um ensino que mobilize uma diversidade de registros. [...], a dificuldade dos alunos para interpretar corretamente um problema e sua incapacidade em produzir a explicação de sua solução com um mínimo de vocabulário apropriado mostram sua limitação para entender os textos mais simples. Ao compreender o senso global, o aluno estará capaz de selecionar as informações principais e de revelar as relações das instruções e, consequentemente, a não cometer erros (p. 204).

Sendo assim, sugerimos pesquisas envolvendo a formação de professores de matemática que estimulem a exploração dos recursos da representação semiótica, como forma de incentivo e auxilio na concepção didática, além da busca constante pelo conhecimento matemático, visando sanar as barreiras nesse processo de aprendizagem.

7. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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8. Anexo

8.1. Termo de Consentimento para realização de pesquisa acadêmica

Diadema, 28 de setembro de 2018.

Prezada Professora

Eu, Prof. Dr. Wagner Marcelo Pommer, vinculado no departamento de Ciências Exatas e da Terra da UNIFESP, Campus Diadema, lotado no curso de Ciências-Licenciatura, venho por meio desta solicitar a possibilidade de acesso da aluna Gabriella Amorim Araújo à atividade de pesquisa em sala de aula. Sob minha orientação, a aluna realiza pesquisas para a elaboração de Trabalho de Conclusão de Curso.

No que tange ao material coletado, solicito a permissão da professora para que a aluna efetive gravações dos registros orais e escritos no quadro negro, para que a mesma possa descrever e analisar o meio de expressão utilizada nas aulas de Matemática frente aos tipos de registro de representação semiótica utilizado.

O acesso a esse material é de uso exclusivo para a confecção de trabalho de conclusão de curso e outros meios acadêmicos de produção de material, que não tem fins comerciais.

Agradeço a oportunidade de contato.

Assinatura da Professora

Escola Estadual João Maria Pires de Aguiar