Os Números Fracionários no Ensino Fundamental: história, aplicação e dificuldades na aprendizagem.

1. RESUMO

O presente estudo tem como eixo norteador oferecer possibilidades de melhor compreensão acerca do tema números fracionários, traçando um panorama histórico por meio do resgate das questões pertinentes ao mesmo, dando ênfase à metodologia aplicada no decorrer das séries iniciais que compõem o Ensino Fundamental. Contribuindo para a desmistificação do conteúdo, buscando simplificar o estudo das frações, de maneira a não repetir processos mecânicos de assimilação, e sim, trazendo para a sala de aula situações que englobem necessidades reais dos alunos, contextualizando de acordo com a realidade dos mesmos problemas e situações a serem trabalhadas na busca de soluções, utilizando as técnicas e os conceitos fracionários que podem ser trabalhados tanto em sala de aula, como também utilizando pesquisa extraclasse, ou seja, ligada ao dia-a-dia de cada aluno, devendo as atividades ser sugeridas pelo próprio professor, usando, com isso, suas habilidades metodológicas. Por isso, a necessidade de profissionais preparados e competentes para o ensino-aprendizagem desta disciplina e deste conhecimento tão antigo, mas que a cada dia se torna ainda mais necessário.

Palavras-chave: Ensino. Frações. Números fracionários.

ABSTRACT

The present study has as guiding axis to offer possibilities of better understanding concerning the theme fractional numbers, drawing a historical panorama through the rescue of the pertinent subjects to the same, giving emphasis to the applied methodology in elapsing of the initial series that compose the Fundamental Teaching. Contributing to the demystification of the content, looking for to simplify the study of the fractions, in way to not to repeat mechanical processes of assimilation, but, bringing for the classroom situations that include the students' real needs, contextualized in agreement with the reality of the same problems and situations to be worked in the search of solutions, using the techniques and the fractional concepts that you/they can be worked so much at classroom, as well as using researches extra class, in other words, linked to each student's day by day, owing the activities to be suggested by the own teacher, using, with that, their methodological abilities. Therefore, the prepared and competent professionals' need for the teaching-learning of this discipline and of such old knowledge, but that every day becomes still more necessary.

Keywords: Education. Fractions. Fractional numbers.

2. INTRODUÇÃO

O presente trabalho é resultado de uma pesquisa bibliográfica realizada com o objetivo de relacionar o ensino das frações no ensino fundamental com a sua história e mostrar que atividades práticas, realizadas em sala de aula pelo docente devidamente preparado, podem facilitar o processo ensino aprendizagem deste conteúdo.

Este trabalho foi realizado através de revisão de literatura, a fim de propor um referencial teórico-analítico para o estudo proposto, com o intuito de analisar diferentes definições e utilizar-se de um embasamento científico. 

De acordo com Rúdio (1986), o método da pesquisa científica não é outra coisa do que a elaboração, consciente e organizada, dos diversos procedimentos que nos orientam para realizar o ato reflexivo, isto é, a operação discursiva na nossa mente. Conforme Gil (1999), este tipo de estudo é desenvolvido por meio de material já elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos, sendo elaborado a partir de autores e referências já consolidadas cientificamente.

O conhecimento dos números fracionários precisa fazer parte da formação dos docentes para que tenham elementos que lhes permitam ensinar os alunos de uma melhor forma e com competências, tratando da história, do conceito teórico até às implicações práticas das frações no cotidiano. Aqui se faz um estudo a respeito desse tema para que atuais e futuros educadores observem alguns dos aspectos que envolvem o estudo das frações e sua aprendizagem por parte dos alunos, partindo do conhecimento dos obstáculos que se encontram no processo de ensino e aprendizagem de tais conceitos.

Lidar com os conceitos matemáticos não é uma tarefa muito simples, ensinar exige mais esforço ainda, pois se exige não somente o conhecimento do conteúdo que se pretende ensinar como também sobre o público alvo, o modo como ele aprende. Partiremos então, nesse trabalho, para um estudo não só sobre as frações (sua história, conceito, modos de resoluções de problemas), mas sobre como ensiná-las.

O objetivo geral deste trabalho é evidenciar a necessidade de rever a metodologia aplicada. Mais especificamente, conhecer a história das frações, compreender a sua importância nas séries iniciais, como também, promover mudanças que venham facilitar a aprendizagem desse conteúdo.

O primeiro Capítulo fala da importância da Matemática como ciência e da sua utilização como investigação científica e no dia-a-dia do homem. Enfatiza seu objeto de estudo e a importância da adequação nas escolas para proporcionar o ensino-aprendizagem. A formação do professor de Matemática deve ser seguida passo a passo, de forma que ele saiba realmente a profissão que está escolhendo e suas possibilidades. Neste capítulo, também é possível ter conhecimento da utilização dos números fracionários pelos egípcios e seu sistema de numeração.

No segundo Capítulo é possível ter uma visão, à luz dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), da utilização dos números fracionários no Ensino Fundamental. Como é aplicada a definição, os conceitos, os cálculos e as atividades, como também as falhas do currículo atual em ralação ao ensino das frações também é visto neste capítulo. Sugestões e reflexões sobre o número fracionário enceram este capítulo de forma introdutória ao próximo.

O Capítulo três faz uma narrativa da aplicação dos números fracionários, de acordo como os PCNs, no Ensino Fundamental.

Buscar o conhecimento a respeito desse assunto não só importa porque ele deve ser ensinado, por conta de estar no currículo escolar, mas porque faz parte de uma herança cultural que ajudará os alunos a entenderem o progresso da invenção humana, bem como a resolver as situações do cotidiano, conforme sua utilização pelos povos egípcios.

3. A MATEMÁTICA E O SABER

3.1. O Ensino da Matemática e sua Importância

A Matemática possui grande valor formativo. É a ciência dos números e dos cálculos, sendo largamente utilizada na investigação científica para facilitar a vida do homem e organizar a sociedade civil, uma vez que possui valor pedagógico e concede incalculáveis oportunidades de ascensão a quem domine seu método e teoria, despertando o pensamento. Entretanto, ainda hoje, o ensino matemático é uniformizado, não levando em consideração as diferenças individuais do educando, frustrando-o e fazendo com que se achem inferiores e passem a bloquear mentalmente a aprendizagem matemática.

Conforme Piletti (2003), o ensino visa à aprendizagem e a aprendizagem é um fenômeno, um processo bastante complexo, existindo muitas teorias a esse respeito.

O objeto de estudo da educação matemática consiste nas múltiplas relações e determinações entre ensino, aprendizagem e conhecimento matemático. Esses objetivos variam de acordo com cada problema ou questão de pesquisa: um visa à melhoria da qualidade do ensino e da aprendizagem; o outro é de natureza científica e visa desenvolver a educação matemática enquanto investigação e produto de conhecimento.

Assim, deve-se pensar num ensino matemático que se desenvolve a partir de problemas do mundo real em que vive os homens, privilegiando conhecimentos que podem ser apresentados de maneira adequada para ser utilizados nas diferentes situações que fazem parte da vida numa sociedade moderna, como o que ocorreu no Antigo Egito, quando se utilizou o sistema de cordas.

A escola deve adequar o ensino matemático à realidade de seu alunado, bem como, deve buscar capacitar o seu corpo docente a respeito da melhor forma didática de ensinar. Visto que, a mesma tem sido utilizada pelo indivíduo para resolver os mais variados problemas.

Através da indução, dedução, abstração e analogia. Tomando dos dados provenientes do estudo da matemática, observa-se que eles podem ser ferramentas para o desenvolvimento de ações cidadãs. Neste sentido, a Matemática ocupa grande parte do nosso tempo, indo além do ensino formal, mas sim, perpassando nossas atividades cotidianas, uma vez que está profundamente ligada a história do desenvolvimento da sociedade, desde seus primórdios até os dias atuais. Constitui-se um valioso instrumento para a análise e interpretação de problemas recorrentes a investigação e buscando soluções práticas para a resolução de questões apresentadas ao indivíduo no seu dia-a-dia.

O educador precisa orientar os docentes no sentido de fazê-los desenvolver um senso crítico, onde os mesmos questionem, levantem hipóteses e criem soluções, transformando-se em agentes diretos da sua aprendizagem. O saber matemático deve levar a experimentação, envolvendo, questionando e levando o aluno a mergulhar num universo fascinante, onde o processo ensino aprendizagem se desenvolva num ambiente propício à resolução dos problemas.

Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (1^a a 4^a série do Ensino Fundamental de 8 anos – 1997), a Matemática, surgida na Antiguidade por necessidades da vida cotidiana, converteu-se em um imenso sistema de variadas e extensas disciplinas. Como as demais ciências, a Matemática reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e domínio da natureza, como por exemplo, iniciar o reflorestamento de uma área ou a criação de um jardim, através de planejamentos que envolvam o cálculo e a resolução de problemas.

Mesmo com um conhecimento superficial da Matemática, é possível reconhecer certos traços que a caracterizam: abstração, precisão, rigor lógico, caráter irrefutável de suas conclusões, bem como o extenso campo de suas aplicações.

Os resultados matemáticos distinguem-se pela sua precisão e os raciocínios desenvolvem-se num alto grau de minuciosidade, que os torna incontestáveis e convincentes. Mas a vitalidade da Matemática deve-se também ao fato de que, apesar de seu caráter abstrato, seus conceitos e resultados têm origem no mundo real e encontram muitas aplicações em outras ciências e em inúmeros aspectos práticos da vida diária: na indústria, no comércio e na área tecnológica. Por outro lado, ciências como Física, Química e Astronomia têm na Matemática ferramenta essencial (BRASIL, 1997, p. 24).

Tomando como base os PCNs (BRASIL, 1997), percebe-se que a Matemática como uma área de conhecimento que

Comporta um amplo campo de relações, regularidades e coerências que despertam a curiosidade e instigam a capacidade de generalizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a estruturação do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico (BRASIL, 1997, p. 25).

A Matemática tem um papel essencial no Ensino Fundamental. Os conhecimentos matemáticos podem ajudar na formação das capacidades intelectuais, a estruturar o pensamento, a agilizar o raciocínio dedutivo do aluno, tanto na sua aplicação a problemas, como na vida cotidiana e nas atividades do mundo do trabalho e, até mesmo no auxílio da construção do conhecimento em outras áreas curriculares.

Não há como negar que a Matemática faz parte da construção da cidadania, uma vez que para sobreviver em uma sociedade complexa como a atual, é necessário ter, cada vez mais, conhecimento. Conforme os PCNs, para exercer a cidadania é necessário saber calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente

O mundo do trabalho requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que vão além da comunicação oral e escrita), instalando novos ritmos de produção, de assimilação rápida de informações, resolvendo e propondo problemas em equipe (BRASIL, 1997, p. 30).

É dessa forma que a Matemática tem importante função no Currículo Nacional do Ensino Básico; fazer com que através de seus conteúdos, o cidadão faça assimilações rápidas de informações e resolva problemas cotidianos.

A leitura e a escrita de textos como também a ordenação e representação fracionária de uso freqüentes têm facilitado a aprendizagem, como também o reconhecimento de que os números racionais admitem infinitas (diferentes) representações gráficas e de regularidades nas escritas numérica tem contribuido para a aprendizagem de frações na sala de aula.  

3.2. O Currículo de Matemática e a Formação do Professor

De acordo com Schubring (1999), a Matemática foi a primeira das disciplinas escolares a deflagrar um movimento internacional de reformulação curricular. Esse movimento aconteceu a partir da Alemanha, no início do século XX, sob a liderança do matemático Félix Klein. Depois a iniciativa veio das universidades européias em promover formalmente a formação de professores secundários, contribuindo para o surgimento de especialistas universitários em ensino de Matemática. Experimentos realizados por psicólogos americanos e europeus, desde o início do século XX, sobre o como as crianças aprendiam Matemática também foram de grande importância para a iniciativa da pesquisa matemática.

Mas a pesquisa em Matemática teve seu ápice significativo em nível internacional a partir do “Movimento da Matemática Moderna”, nos anos 50 e 60. Dentre os grupos influentes que surgiram, está o School Mathematics Study Group, que publicou livros didáticos e disseminou o ideário modernista, atingindo o Brasil, onde surge a Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) e os primeiros programas de pós-graduação em Educação Matemática. Os norte-americanos fundaram os primeiros programas específicos de mestrado e doutorado em Educação Matemática. De acordo com Kilpatrick (1992), até o final dos anos 80, já haviam sido realizados mais de cinco mil estudos na área, a maioria nos Estados Unidos.

Alguns fatores provocam mudanças curriculares no ensino da Matemática como: as pressões sociais, econômicas e políticas em relação a formação de novos profissionais e a pressão dos especialista e acadêmicos em querer transpor para sala de aula os resultados de suas pesquisas sobre o ensino da Matemática. Outro fator que pode acarretar mudanças no currículo é atribuída aos próprios professores, que através de pesquisas e iniciativas, produzem inovações.

A formação profissional do professor é realizada nos cursos de Habilitação ao Magistério em níveis de 2º grau e superior. Compõe-se de um conjunto de disciplinas coordenadas e articuladas entre si, cujos objetivos e conteúdos devem confluir para uma unidade teórico-metodológica do curso. A formação profissional é um processo pedagógico, intencional e organizado, de preparação teórico-científica e técnica do professor para dirigir competentemente o processo de ensino (LIBÂNEO, 1994, p. 27).

Vale salientar que um curso de formação inicial de professores de Matemática deve ser diferente de um curso de Matemática que tem a intenção de formar matemáticos voltados para a investigação, à pesquisa. Essa formação deve preparar profissionais para o exercício da profissão de professor. Contudo, o futuro professor, tem uma formação pessoal, social e cultural que muitas vezes é ignorada. Formação esta que o pode favorecer no desenvolvimento da capacidade de reflexão, autonomia, cooperação e participação, interiorização de valores, capacidade de percepção de princípios, de relação interpessoal, dentre outros. A formação científica e tecnológica, técnica ou artística na respectiva especialidade é imprescindível; sem o domínio do conteúdo e competência, o professor não pode exercer de modo adequado suas funções.

A formação no domínio educacional deve estar presente na formação do discente em qualquer disciplina, inclusive Matemática. Um professor está envolvido com a herança da pedagogia, com os tributos das ciências da educação, da reflexão sobre os problemas educacionais do mundo, das problemáticas e dos contributos da investigação realizada pela didática e pelas áreas das ciências da educação, torna-se cada vez mais um educador. Isso pode ser verificando quando o aluno consegue fazer um paralelo entre o que aprende em sala de aula e a sua realidade do dia-a-dia. Quando o mesmo reflete e analisa antes de resolver qualquer situação, ou seja, qualquer problema.

O professor de Matemática tem de ser capaz de construir soluções para diversas situações da sua vida profissional, deve ser capaz de lidar com situações concretas e não apenas conhecer teorias e resultados de investigações. O professor é um profissional que tem a capacidade de identificar os problemas que surgem na sua atividade, construindo, sempre que possível, com soluções adequadas. Essas competências devem estar presentes na formação inicial do professor, mas principalmente ao longo de sua carreira profissional.

Todavia, se a formação não prepara o professor para se inserir na realidade educacional que existe hoje, com seus alunos e suas culturas, seus problemas estruturais e financeiros, teremos profissionais deslocados, inaptos e descontentes, podendo até mesmo abandonar a profissão antes mesmo de começar a exercê-la.

O estágio pedagógico que os alunos do Curso de Licenciatura em Matemática realizam visa o desenvolvimento de competências dos estagiários no âmbito da prática e na participação ativa da escola, numa perspectiva de aperfeiçoamento profissional permanente no que diz respeito ao domínio científico, didático, pedagógico e relacional. Na verdade, é uma forma de vivenciar a profissão de uma forma mais abrangente, onde você esta sendo avaliado e ao mesmo tempo se avalia. Um estagiário tem a possibilidade de verificar as metodologias aplicadas em diferentes anos e de diferentes formas, contribuindo e enriquecendo seu processo de formação.

Conforme Lampert e Ball (1998), mais importante que saber as competências que devem ter os novos professores é saber como é que eles as devem adquirir. No ensino, como em outros campos de conhecimento, os profissionais precisam saber como construir novo conhecimento.

3.3. Os Números Fracionários na História da Matemática

Não é possível datar o exato momento do aparecimento da Matemática, mas ela surgiu como ciência, a partir dos séculos VI e V a.C. na Grécia, dando sentido aos símbolos, designando números, segmentos de retas, entes geométricos, entre outros.

No século VI a.C., por exemplo, num momento em que as demais cidades gregas, de uma forma ou de outra, orientavam-se para a democracia, Esparta mantinha-se aristocrática e sua educação visava exclusivamente à formação de soldados. Nesse mesmo período, a organização social de Atenas começa a ser modificada e “a uma data infelizmente difícil de se precisar [...] perdeu a educação seu caráter essencialmente militar” (MARROU, 1975, p. 66).

É justamente nesse momento que a educação grega, e em especial, Atenas, começou a valorizar o ensino de modo geral, ou seja, abrangendo a leitura e a escrita para a formação dos filhos dos nobres. Só após um século é que foi possível tornar o ensino da Matemática também importante nessa formação.

Conforme Marrou (1975), porvolta do ano 4000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. As aldeias que estavam situadas às margens de rios transformaram-se em cidade, tornando a vida cada vez mais complexa, devido ao surgimento principalmente de novas atividades e do desenvolvimento do comércio e da necessidade de produzir mais alimentos para suprir suas necessidades e às necessidades dos compradores. Outras atividades também tiveram que ser desenvolvidas como o artesanato, o sacerdócio e a administração.

Os grandes progressos que marcaram o final da Pré-história tornaram-se bem evidentes no Egito, uma vez, que havia a necessidade de efetuar cálculos rápidos e precisos e, para isto, era necessário representar a quantidade de objetos de uma coleção. Para isto, passou-se a utilizar, desenhos, que a posterior, se chamaram símbolos. Esse foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Na Pré-história, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje, se utiliza os símbolos para representar tal operação: 3 + 5 = 8.

Ainda de acordo com Marrou (1975), a cultura egípcia desenvolveu-se no noroeste da África, no vale do Nilo, desde aproximadamente o ano 3200 a.C. até os primeiros séculos da era cristã. Esse vale manteve-se em isolamento, protegido naturalmente de invasões estrangeiras devido a sua geografia, governando pacificamente e quase ininterruptamente por uma sucessão de dinastias. Nessa cultura egípcia foram desenvolvidas três formas de escrita, sendo a mais antiga e utilizada pelos sacerdotes em monumentos e tumbas, a hieroglífica, dando origem à chamada hierática da qual surgiu mais tarde a escrita demótica que se tornou de uso geral.

Segundo Marrou (1975), no período da campanha de Napoleão no Egito (1799), encontraram, durante escavação no solo perto do braço Roseta do delta do Nilo, um fragmento basáltico polido que iria propiciar a decifração da escrita egípcia. Ficou conhecida como Pedra de Roseta e contém inscrições com uma mensagem repetida em hieroglíficos, em caracteres demóticos e em grego. Tendo o grego como chave, foi possível decifrar a escrita egípcia. Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático, como também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas surgidos das necessidades do desenvolvimento da indústria e do comércio. Na construção das pirâmides foi possível notar uma perícia profunda na arte de engenharia.

Dois papiros são as fontes principais de informação referentes à Matemática antiga no Egito: o papiro Golonishev, ou Moscou datado de 1850 a.C., consiste numa tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura com 25 problemas e o papiro Rhind (ou Ahmes) de 1650 a.C., com 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura, considerado um antigo manual de matemática, contendo 85 problemas resolvidos que, em sua maioria, envolve assuntos do dia-a-dia, descrevendo métodos de multiplicação e divisão dos egípcios, o uso de frações unitárias, dentre outros. Foi comprado, em 1.858, por um antiquário escocês chamado Henry Rhind e atualmente encontrando-se no British Museum, de Londres.

De acordo com Boyer (1974), Vinte e seis dos 110 problemas dos papiros Moscou e Rhind são geométricos. Muitos deles decorrem de fórmulas de mensuração necessária para cálculo de áreas de terras e volumes de grãos. A área de um círculo é tomada igual a de um quadrado de lado igual a 8/9 do diâmetro, o equivale a notação atual a tomar uma aproximação para π igual a 3,16.

Surgiram muitos problemas clássicos, onde se sentia a necessidade de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. Dessa necessidade de resolver esses problemas, principalmente se estavam relacionados ao rio Nilo, os egípcios desenvolveram o número fracionário e para representá-lo, a fração.

3.4. O Sistema de Numeração Egípcia

O sistema de numeração egípcia baseava-se em sete números chave: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000, um traço vertical representava 1 unidade, um osso de calcanhar invertido representava o número 10, um laço valia 100 unidades, uma flor de lótus valia 1.000, um dedo dobrado valia 10.000, um girino representava 100.000 unidades, uma figura ajoelhada, talvez representando um deus valia 1.000.000.

Figura 1:Sistema de Numeração Egípcia.
Fonte: Matsubara(2002, p. 42).

Para representar os outros números eram feitas combinações, como por exemplo:

Figura 2:Combinações do Sistema de Numeração Egípcia.
Fonte: Matsubara(2002, p. 43).

Os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos, o que para a atualidade é imprescindível. Esse sistema de numeração servia para efetuar cálculos que envolviam números inteiros. A técnica era efetuar todas as operações matemáticas através de uma adição.

Conforme Boyer (1996), o sistema fracionário surgiu no Antigo Egito, às margens do rio Nilo, por volta do ano de 3.000 a.C. sob o reinado do faraó Sesóstris. A economia egípcia estava assentada principalmente no cultivo de terras e para que tal modo de produção ocorresse de uma forma eficaz, terras cultiváveis eram divididas entre os habitantes. Anualmente, entre os meses de junho a setembro, as águas do Nilo subiam muitos metros além de seu leito normal e acabavam por inundar uma vasta região circundante e trazendo a necessidade de remarcação do terreno não atingido pela enchente.

Assim, de acordo com o relato que o próprio historiador Heródoto nos deixou como legado: “se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exata da perda”, isto há cerca de 2.300 anos (BOYER, 1996). Tal remarcação era realizada pelos agrimensores do Estado, conhecidos como estiradores de cordas, estes que utilizavam estas cordas como unidade de medição no processo de mensuração.

Sesóstris, faraó do Egito, repartiu o solo do Egito entre seus habitantes, os mais privilegiados. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o rei mandava pessoas para examinar, e determinar por medida a extensão exata da perda. (BOYER, 1996, p. 6).

Segundo Boyer (1996), o processo de mensuração das terras consistia em estirar cordas e verificar o número de vezes que a unidade de medida estava contida no terreno. Havia uma unidade de medida assinada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidos como estiradores de cordas.

Figura 3:Sistema de cordas.
Fonte: Toledo(1997, p. 19).

No entanto, na maioria das vezes, a medição dificilmente era finalizada por um número inteiro de vezes em que as cordas eram estiradas. A resposta encontrada para lidar com a dificuldade imposta por tal situação consistiu-se na criação dos números fracionários.

A organização do sistema numérico fracionário dos egípcios era  baseada no conceito unitário, de forma que a maioria das frações apresentava o seu numerador constituído pelo numeral 1 (um) – representado por um sinal de forma oval e alongada. Tais frações eram denominadas frações unitárias ou egípcias. Assim: 1/8 correspondia a um símbolo, 1/20 correspondia a outro símbolo. Todavia, duas frações podiam ser apontadas como exceção a tal regra: 3/4 e 2/3, sendo que o último era contemplado como fração geral, uma vez que era utilizada como base para diversas operações matemáticas.

Muitas das frações que não apresentavam o numeral 1 no numerador eram consideradas o resultado da soma entre as várias frações egípcias (unitárias). Porém, é importante ressaltar que os sinais de adição e subtração não eram utilizados nestas operações matemáticas, visto que ainda não tinham sidos criados.

Os antigos egípcios usavam um sistema de frações baseado em caracteres distintos, tipo 1/2 era um símbolo, 3/4 era outro, etc., mas tinham alguma regra geral. Em particular, as frações do tipo 1/2ⁿ (que seriam tipo 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32...) tinham símbolos especiais, surgindo da associação desses símbolos, do 1/2 até o 1/64 é o olho de Horus. Tem a ver com a série infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 ... = 1. Não se sabe se eles achavam que terminava no 1/64 porque não conseguiam diferenciar pedaços de coisa menores que isso, mas a idéia seria que todos juntos formariam a unidade. Cada fração representaria um sentido, tipo visão, olfato, paladar, tato, audição, e o sexto sentido, que seria o pensamento. A Figura 4 mostra, no olho de Horus, quais são os símbolos de cada fração:

Figura 4:Olho de Horus.
Fonte: Bakos(2005, p. 60).

Onde:

• 1/2 representa o olfato;
• 1/4 representa a visão;
• 1/8 representa o pensamento, que seria a sobrancelha;
• 1/16 representa a audição;
• 1/32 representa o paladar, uma lingüinha bem comprida;
• 1/64 representa o tato, que seriam as duas perninhas em contato com o mundo embaixo.

Conforme Zamboni (2001), é válido apontar a existência de grande variação na representação do sistema fracionário segundo a sociedade e a época histórica. Assim, ao passo que os egípcios utilizavam frações unitárias na maioria das vezes, os babilônicos e os Sumérios, já por volta da segunda metade do terceiro milênio, faziam uso de frações cujo denominador era 60. Era um sistema sexagesimal, onde os números menores que 60 eram representados por um sistema de base 10 e os números maiores ou iguais a 60 eram designados pelo mesmo principio com a base 60. Esse sistema tinha base no princípio proporcional.

É provável que o uso do número 60 pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que 100 com maior quantidade de divisores inteiros, os romanos, por sua vez, usavam constantemente frações com denominador 12. Já os romanos usavam o número 12 por ser um número que embora pequeno, possui um número expressivo de divisores inteiros.

De acordo com Zamboni (2001), com Grande parte do conhecimento matemático vigente na Antiguidade foi resgatado pelo achado de inúmeros registros feitos em papiros, transformando-os em valiosas fontes históricas. Dois desses importantes documentos encontrados são o Papyrus Rhind e o Papyrus de Moscou, que tratavam da resolução de diversos problemas matemáticos de caráter cotidiano (a armazenagem do trigo, o preço do pão, a alimentação do gado), e outros conteúdos de natureza fracionária.

Acredita-se, que tais documentos apresentavam funções meramente pedagógicas, sendo destinado ao ensino de funcionários do estado egípcio e dos escribas. Assim, as frações, desde o tempo dos egípcios auxiliam de modo significativo ao longo da história o homem no sentido de facilitar seu processo de compreensão do mundo que o rodeia e de suas próprias ações.

4. O ENSINO DOS NÚMEROS FRACIONÁRIOS NO ENSINO FUNDAMENTAL

4.1. AIdéia de Número Fracionário

A idéia de número fracionário surge da necessidade de se considerar uma ou mais partes de um objeto (o todo). De maneira geral, é representado na forma a/b, onde; bé o denominador que indica partes iguais que se divide a unidade e é o numerador que indica quantas dessas partes foram consideradas, devendo o denominador ser sempre diferente de zero.

O significado do vocábulo fração vem do latim fragere que significa “quebrar”. Os termos “denominador” e “numerador” possuem origem latina e significam respectivamente, dar nomes e contar. Ao realizar a leitura de uma fração, deve-se iniciar pelo numerador e a seguir partir para o termo referente ao denominador.

A barra foi introduzida pelos árabes no século XIII, advindo do esquema numerador-denominador, utilizado na Índia. Ela foi utilizada pela primeira vez pelo matemático italiano Fibonacci. O Símbolo para indicar uma porcentagem (%), evoluiu a partir de uma figura semelhante encontrada em um manuscrito italiano anônimo de 1425 que trazia diversas frações de denominador 100. A primeira vírgula surgiu num texto contábil em 1492, na Itália, indicando a divisão de um número por uma potência de 10. Um século depois, passou a ser usada para separar a parte inteira da parte decimal de um número, como, por exemplo, em 0,5. O traço diagonal surgiu por uma necessidade da impressa, pois ao publicar uma fração era preciso montar tipos em três andares.

De acordo com Lezzi (2001), existem diferentes tipos de fração:

• Frações própriassão aquelas cujo numerador é menor que o denominador e diferente de zero, exemplo 3/5; essas frações são próprias de um único inteiro;
• Frações imprópriassão aquelas cujo numerador é maior que o denominador, mas não é múltiplo do mesmo, exemplo 5/2; essas frações não são próprias de um único inteiro;
• Frações aparentessão aquelas cujo numerador é múltiplo do denominador; ela tem apenas aparência de fração, exemplo 9/3;
• Frações equivalentessão aquelas que representam a mesma parte do todo; são escritas de formas diferentes, mas que representam a mesma quantidade. Exemplo: Um chocolate foi repartido em 6 partes iguais, logo cada parte representa 1/6 do chocolate todo. Se pegarmos 3 dessas partes estaremos com 3/6 do chocolate todo, mas isso representa também a metade do chocolate, 1/2. Dizemos então que 1/2 e 3/6 são frações equivalentes;
• Frações decimaissão aquelas em que os denominadores são múltiplos de 10. Exemplo: 1/20, 2/20.

Podemos realizar as quatro operações básicas da matemática utilizando frações em suas mais variadas formas de apresentação, bem como podemos trabalhar com potenciação e extração de raiz quadrada, as frações algébricas (incluindo as operações básicas), dentre outras operações conhecidas no meio matemático. Para realizar estas operações faz-se necessário que o professor utilize muitos exemplos práticos e faça atividades com situações que despertem a curiosidade do aluno em encontrar a resposta. Alguns desses exemplos práticos podem ser realizados através de divisões com papel colorido, áreas de sala de aula ou outros ambientes da escola.

Para uma criança não é tão fácil entender que a fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número em partes iguais entre si. E o ensino da Matemática muitas vezes está apenas ligado à transmissão de passos e regras. Os alunos precisam entender, como os egípcios, que os números naturais são insuficientes para resolver determinados problemas. Não conseguem exprimir a medida de uma grandeza ou resultado de uma divisão. Para isto, se utiliza os números racionais.

A utilização da história da Matemática pode ajudar a formar definições a respeito do estudo das frações. Um texto sobre a problemática da divisão das terras do Nilo é uma das formas de introduzir o conteúdo. É uma situação problema que leva o educando a percebe a importância de um numero que representasse uma quantidade inferior a um inteiro, ou seja, o número fracionário.

Conforme os PCNs (BRASIL, 1997) a aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com idéias construídas acerca dos números naturais, e, portanto, demanda tempo e uma abordagem adequada.

O aluno precisa compreender que a fração é uma linguagem para representar números ou relações entre números e que ele tenha interesse em decodificá-la e relacionar o seu significado ao contexto real.

Conforme os PCNs (2007), é indispensável, ao fazer um estudo dos números fracionários, reconhecer e tomar conhecimento da faixa etária do aluno e, sobretudo, do nível de escolaridade a quem se pretende ensinar tal conteúdo. De acordo com os PCNs de Matemática, é no segundo ciclo (3^ase 4^asséries do Ensino Fundamental de 8 anos), que são apresentadas aos alunos situações-problema cujas soluções não se encontram no campo dos números naturais, possibilitando, assim, que eles se aproximem da noção de número racional, pela compreensão de alguns de seus significados (parte-todo, razão e quociente) e de suas representações, fracionária e decimal.

As orientações didáticas recomendam a exploração dos diferentes significados das frações em situações problemas: parte-todo, quociente e razão. A prática mais comum para explorar o conceito de fração é a que recorre a saturações em que está implícita a relação parte-todo; é o caos das tradicionais divisões de um chocolate ou uma pizza em partes iguais. A fração indica a relação que existe entre um número de partes consideradas e o total de partes em que o inteiro foi dividido.

Fração com significado parte todo é a partição de um objeto qualquer em n partes, isto é, um todo dividido em partes iguais e que cada parte poderá ser representada como 1/n, chagando-se a uma resposta correta.

Esta é uma prática comum para explorar o conceito de fração, é o caso das tradicionais divisões de um chocolate ou de uma pizza em partes iguais. A fração indica a relação que existe entre um número de partes consideradas e o total de partes em que o inteiro foi dividido.

• Fração com significado quociente está presente em situações de partição. Exemplo: duas pizzas foram divididas igualmente para 3 pessoas. Quanto recebeu cada uma?

O significado das frações como quociente baseia-se na divisão de um número natural por outro: a:b = a/b. Essa definição se diferencia da anterior (parte-todo), porque dividir um chocolate em 3 partes e comer 2 dessas partes é uma situação diferente daquela em que é preciso dividir 2 chocolates para 3 pessoas, mesmo que nos dois casos o resultado seja representado pela mesma notação: 2/3 (BRASIL, 1997).

• Na terceira situação, onde a fração é interpretada como razão, essa fração é usada como uma espécie de índice comparativo entre duas quantidades de uma grandeza.

A fração é usada como razão quando temos situações do tipo: 2 de cada 3 habitantes de uma cidade são imigrantes.

Antes de se entender o sentido matemático de uma fração, se deve compreender o que seja um inteiro, através da manipulação de materiais concretos, como peças geométricas, como tangram, blocos fracionários que induzam a montar, desmontar e relacionar as partes com o todo. Ficar colorindo figuras dos livros didáticos pode não ajudar e se tornar perda de tempo.

O conteúdo dos números fracionários e decimais não são esgotados nessas séries, pois esse ciclo não constitui um marco de terminalidade da aprendizagem desses conteúdos, o que significa que o trabalho com números  naturais e racionais, operações, medidas, espaço e forma e o tratamento da informação deverá ter continuidade, para que o aluno alcance novos patamares de conhecimento (BRASIL,1997, p. 59).

Muitas vezes, ao raciocinar sobre números racionais como se fossem naturais, os alunos acabam enfrentando obstáculos como o fato de que o número racional pode ser representado por diferentes (e infinitas) escritas fracionárias; a comparação entre racionais, onde 1/3 < 1/2, pode lhes parecer contraditório aos naturais 3 > 2; a indicação de grandeza não obedece aos mesmos critérios dos naturais (5.230 > 25) e 2,3 e 2,125; ao se multiplicar um número natural por outro natural diferente de 0 ou 1 se encontraria um número maior que ambos, com os fracionários, ao se multiplicar 10 por 1/2 se surpreenderam ao verificar que o resultado é menor que 10 (BRASIL, 1997).

Se a seqüência dos números naturais permite falar em sucessor e antecessor, para os racionais, isso não faz sentido, uma vez que entre dois números racionais quaisquer é sempre possível encontrar outro racional; assim, o aluno deverá perceber que entre 0,8 e 0,9 estão números como 0,81, 0,815 ou 0,87 (BRASIL, 1997, p. 68).

Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplos temos a fração 1/2 que equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5. Em 1585 o engenheiro e matemático holandês Stevin, ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, em o uso de frações, onde escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo de numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal (BRASIL, 1997).

Vejamos a notação adaptada pelo grande matemático escocês John Napier:

Entre os conteúdos conceituais e procedimentais contidos no Currículo Nacional de Matemática para o segundo ciclo estão presentes: os Números Naturais; Sistema de Numeração Decimal e Números Racionais; Operações com Números Naturais e Racionais; Espaço e Forma; Grandezas e Medidas; e Tratamento da Informação. No terceiro ciclo do Ensino fundamental a sugestão é de que se introduza o significado de operador multiplicativo.

O que mais importa estudar no presente trabalho, no entanto, é o que diz respeito aos números racionais, em específico os números fracionários. Portanto, vamos nos ater mais a eles.

4.2. O Ensino dos Números Fracionários no 2º Ciclo do Ensino Fundamental (5ª e 6ª série)

Espera-se que no segundo ciclo do Ensino Fundamental, o aluno, conforme os PCNs (BRASIL, 1997), reconheça os números naturais e racionais no contexto diários, compreenda e utilize as regras do sistema de numeração decimal, para leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais de qualquer ordem de grandeza; formule hipóteses sobre a grandeza numérica, pela observação da posição dos algarismos na representação decimal de um número racional; leia e represente os números racionais na forma decimal; compare e ordene os números racionaís na forma decimal; localize na reta numérica, de números racionais na forma decimal; leia, escreva, compare e ordene as representações fracionárias de uso freqüente; reconheça que os números racionais admitem diferentes (infinitas) representações na forma fracionária; identifique e produza frações equivalentes, pela observação de representações gráficas e de regularidades nas escritas numéricas; explore os diferentes significados das frações em situações-problema: parte todo, quociente e razão; observe que os números naturais podem ser expressos  na forma fracionária; relacione as representações fracionárias com a decimal de um mesmo número racional; e reconheça o uso da porcentagem no contexto diário.

4.3. As Falhas no Ensino de Frações Hoje

Analisando alguns autores de livros do 6º ano (antiga 5ª série), foi possível verificar que quando é apresentado o conteúdo do tipo: multiplicar frações por números naturais ou inteiros ocorrem aplicações errôneas, mesmo que existam algumas sobreposições. São artifícios usados como afirmações do tipo: "Multiplicar um número inteiro por uma fração com o denominador um", notasse, no entanto, que o aluno esta aprendendo a tomar uma fração (unitária) de um número inteiro e somente pode tomar a fração se o resultado também for um número inteiro - na realidade, um caso raro, todavia, um artifício comum na ficção curricular. Em nenhum lugar do texto é mencionado que estamos lidando com um caso muito particular de um problema geral. Em outra abordagem enfoca-se o seguinte conteúdo "escrever frações como porcentagem" simplesmente se referem a frações com denominador cem. Outro exemplo da ausência do conhecimento amplo sobre o assunto é quando apresenta a expressão matemática: escrever "1/3 x 12" abaixo de "1/3 de 12" e deste modo afirmar que estamos aprendendo a multiplicar frações. Não existem explicações de porque nós chamamos multiplicação o processo de achar 1/3 de 12. Um outro texto adota um artifício diferente, porém ainda mais enganador - tendo demonstrado que 12 x 1/3 = 4 por adições repetitivas na linha seguinte da que 1/3 x12 = 4 sem nenhuma explicação (BRASIL, 1997).

A inviabilidade complementar também é encontrada freqüentemente. O texto demonstra, recolocando pedaços de retângulo, que 1/2 X 1/3 = 1/6. Então escreve que 1/2 X 1/3 = (1x1) (2x3) = 1/6, e conclui que em multiplicação de frações basta multiplicar os numeradores e os denominadores. É razoável duvidar que o aluno, observando que 1/2 x1/3 =1/6, percebesse estar multiplicando 1x1 para obter 1 (BRASIL, 1997).

Um exemplo final de inviabilidade precisa e, deveria ser suficiente, para somar duas frações: dizem-nos que devemos achar o menor denominador comum (uma frase equivocada, uma vez que nós somente temos que achar o menor denominador comum quando as frações envolvidas não têm um denominador comum); Isto é normalmente apresentado em três estágios: Primeiro, se as frações têm o mesmo denominador este é o menor denominador comum; Se um denominador é múltiplo do outro, utilize-o como menor denominador comum. E o terceiro estágio ainda é menos explicito: muitos textos dão imediatamente exemplos como 2/7 + 5/12 e dizem que "use 7 x 12". Outros dão exemplos com 34 + 56 e dizem "tentem 12". Contudo, não há menção de nenhum processo sistemático, nenhuma sugestão mesmo para dizer quando você deve multiplicar os dois denominadores (BRASIL, 1997). O aluno é levado a acreditar que lhe foi ensinado um procedimento e que o aprendeu, mais isso não é verdade.

4.4. Sugestões Metodológicas para um Bom Ensino sobre Frações

Devemos vivenciar situações de contextualizações, onde apareçam o conceito, parte-todo, quociente, comparações, equivalências e as operações. Após fazer análise, observações de métodos aplicados no ensino das frações, em várias edições recentes, mesmo que estes métodos não possam ser todos descartáveis, vem a seguinte indagação: “será possível no ensino de frações, desenvolver novas metodologias e aplicações que visem uma melhor compreensão destas?”.

Sim, percebermos que normalmente as crianças têm contato com medidas e valores monetários, nos quais aparecem o décimo e o centésimo, no entanto, o nosso ambiente não coloca para elas, problemas significativos envolvendo números fracionários. Não compramos 3/4 de dúzias de bananas, nem 5/8 de pizza. O vocabulário mais comum em relação ao tema é o meio ou a quarta parte (de certa quantidade), ½ ou ¼ de uma hora.

Os materiais concretos podem ter formas geométricas, tiras de papel em tamanhos e cores diferentes, botões, palitos, tampinhas, grãos, fita métrica e balança.

Há diversas metodologias que podem ser aproveitadas para o ensino de frações. Algumas delas consistem na utilização de materiais concretos, livros didáticos, jogos ou suporte da informática e multimídia, porém todas devem levar em consideração o contexto e o uso cotidiano do aluno.

Percebemos que atualmente as escolas, públicas em geral, como também algumas particulares vêm a cada dia exigindo menos dos alunos em relação aos cálculos com frações nas situações do cotidiano.

Outra sugestão com relação às dificuldades metodológicas é a aplicação do conteúdo de frações na qual chagamos a uma conclusão: é que quando falamos em adição de frações com denominadores diferentes, geralmente, recorremos em sala de aula a uma regra tradicional que consiste em determinar o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores, sendo que, depois, é necessário fazer algumas operações com o intuito de encontrar frações equivalentes as duas frações dadas com o mesmo denominador.

Todo esse processo causa enorme desânimo em boa parte dos alunos, já que a operação “divisão” é para muitos um entrave no seu aprendizado. Contudo, graças às nossa busca por novas técnicas, conseguimos encontrar algumas muito interessantes e entre elas destacamos a seguinte, que por ser de melhor compreensão, a operação “multiplicação” torna essa técnica mais agradável e simples. Vejamos a situação abaixo, na qual se pede que se determine a soma das frações que se seguem:

1º) Deve-se encontrar quais frações equivalentes às respectivas frações dadas acima que possuam os mesmos denominadores. Então, tem-se:

2º) Em seguida, substitui-se as frações dadas pelas suas respectivas equivalências e efetua-se a operação. Assim, tem-se:

Nosso objetivo é tornar possível, o uso dos números fracionários nas operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão, como também suas aplicações nas diversas áreas do setor profissionalizante, como por exemplo: marcenaria (fabricação de peças de móveis); tornearia e mecânica (montagem de peças para máquinas, automóveis e outros); comércio (tecidos, alimentos, hortifrutigranjeiros), entre outros.

E ainda mais, por meio de situações do cotidiano, onde ocorrem inúmeras situações nas quais se empregam frações, como por exemplo, nas eleições, onde vence o candidato que obtiver ½ (metade) do total de votos mais um no primeiro turno, ou a maioria simples no segundo; em mapas e plantas com o uso de escalas; em razões e proporções empregadas na música, na medicina, na física, na culinária (receitas de tortas, salgados), entre outras aplicações.

4.5. Reflexões sobre o Ensino de Frações no Currículo de Matemática

Ainda existem muitos mitos e equívocos a respeito do currículo de matemática e sua implementação. Um dos mais preocupantes é o de que um tópico específico ou campo conceitual é exclusividade de uma determinada série. Há muitas décadas que o tema frações com todo seu acervo de conceitos e procedimentos subjacentes (frações próprias, equivalentes, ordenação, aplicações e operações) podem e devem ser "ensinados" na 5^a série como um pacote. Esta “tradição” é um grande erro, principalmente porque obriga o professor a ensinar muito conteúdo em pouco tempo e não deixa o aluno assimilar de acordo com suas necessidades o que está aprendendo. Será que os alunos realmente aprendem? E o que aprendem?

Muitas vezes, o aluno só aprende o que interessa para a prova, procurando obter uma nota. É por isso que, em geral, não transferem seus conhecimentos sobre frações para situações em que não foram ensinados e se esquecem do que aprenderam quando passam para as séries seguintes. O professor, por sua vez, deveria repensar sua forma de ensinar frações. Será que não está na hora de abrir mão dos velhos recursos de partir pizzas e barras de chocolate? Centenas de estudos sobre aprendizagem de frações, números racionais e atividades de proporcionalidade que mostram que há diferentes e diversas idéias em torno de um código 3/4. Levar os alunos a descobrir a regra de divisão de frações seria um novo recomeço no ensino das frações. Sabe-se, baseado em investigações, que as crianças têm concepções diversas sobre frações e a passagem de uma idéia para outra como da relação parte-todo para a fração como número ou razão não é simples e leva tempo.

Investigações sérias mostram que a formação do pensamento proporcional é longa, estendendo-se dos 9/10 anos até os 14/15 anos. Não é de se estranhar, portanto, que os alunos tenham dificuldades, e que certos conceitos e procedimentos têm permanência curta, resistindo quando muito, do dia do "ponto ensinado" ao dia da prova. Esses mesmos estudos sugerem que o ensino de frações deve ser gradativo, que deveríamos dosar o ensino das operações de modo que elas possam ser realmente conceituadas e incorporadas às estruturas de pensamento dos alunos.

É necessário que os alunos pensem, elaborem hipóteses, apresentem respostas e repensem até se certificarem da solução encontrada.

5. AS FRAÇÕES NA MATEMÁTICA HOJE

Conforme os PCNs (BRASIL, 1997), os conteúdos sobre frações indicados para trabalhar o segundo ciclo são: o reconhecimento dos números racionais no contexto diário; leitura, escrita, comparação e ordenação de representação fracionária de uso freqüente; reconhecer que números racionais admitem diferentes representações na forma fracionária, dentre outros.

A distribuição do conteúdo envolve atividades de conceitualização e uso das frações ao longo das 4 séries (5^a a 8^a). De modo que os alunos possam ser introduzidos ao estudo das frações na 5^a série (6^o ano) e, caso já tenham estudado frações na 4^a série, o trabalho na 5^a pode funcionar como revisão, reforço e introdução de novas situações, com ênfase no conceito de fração equivalente e nas operações aditivas (adição e subtração). A equivalência é utilizada para introduzir a forma decimal e para em seguida introduzir ou explorar as porcentagens.

Na 6^a série (7^o ano) é feita uma revisão com problemas e situações novas que vão ajudar na problematizar de forma que os alunos explorem as operações de natureza multiplicativa (multiplicação e divisão). Ainda no 7^o ano a notação fracionária é utilizada nas situações usualmente intituladas de "razões e proporções".

Uma retomada é feita na 7^a série (8^o ano) onde, numa perspectiva algébrica a fração é conceituada como número racional, formando o conjunto Q dos racionais, que surge como o primeiro conjunto denso que os alunos têm contato. A densidade é uma importante propriedade de conjuntos numéricos. O conjunto Q é dito denso porque dados quaisquer racionais x1 e x2 existe sempre um outro número racional entre eles. Esta propriedade pode ser provada quando se propõe aos alunos que achem a média aritmética de dois racionais quaisquer. Uma importante utilização dos racionais é feita nesta série com a introdução às probabilidades. Diferentemente dos países desenvolvidos, no Brasil o estudo das probabilidades era exclusivo do currículo ensino médio.

Na 8^a série (9^o ano) os alunos são convidados a fazer um balanço formal de seus conhecimentos numéricos colocando os conjuntos dos vários tipos de números, que já dominam, em relação uns com os outros de modo a descobrir novas propriedades, estender definições, dentre outros. No final do 9º Ano, quando estão estudando matemática comercial e financeira utilizam os números racionais na forma fracionária ou decimal como operadores: taxas, fatores de aumento ou decréscimo.

Devemos introduzir explicitamente os números racionais (nós nos referimos aqui aos racionais positivos; o conjunto todo dos racionais aparecerá, é claro, uma vez que os números negativos sejam introduzidos) – e que não haveria dificuldades em fazê-lo.

Deveríamos apresentar a multiplicação como uma operação básica com números racionais. Isto é matematicamente correto já que os números racionais surgem do desejo, ou necessidade, de inverter a multiplicação e é correto na prática porque é mais fácil encontrar aplicações da multiplicação de frações. A divisão por números racionais não apresenta nenhum problema real, matematicamente falando, mas é mais difícil encontrar aplicações convenientes. Há questões do tipo "quanto?" que pedem divisões de frações, mas nas quais a resposta é obtida arredondando-se o quociente para cima ou para baixo, para um número inteiro. Há outras questões (por exemplo, o preço de um imposto ou de uma redução percentual) que levam a divisão de decimais por frações. Desta maneira, nós devemos admitir honestamente que a divisão exata de números racionais por números racionais não é uma ferramenta prática muito importante, certamente não se comporta como a multiplicação.

Os melhores exemplos vêm da teoria elementar de probabilidade, onde a probabilidade de uma disjunção completa de dois eventos (mutuamente exclusivos) é a soma das probabilidades dos dois eventos. Deve ser notado, contudo, que nesta aplicação as duas probabilidades tendem naturalmente a ser representadas por frações com o mesmo denominador. Deste modo, se eu atiro dois dados e somo os números das faces de cima, a probabilidade de obter 4 é 3/36 e a probabilidade de obter 8 é 5/36 de modo que a probabilidade de obter 4 ou 8 é 8/36. Seria perverso expressar a primeira probabilidade como 1/12 e assim complicar a tarefa de somar as frações-simplicidade não reside na fração, mas no processo aritmético no qual se usa a fração. Mesmo apresentar a resposta como 2/9 é desnecessário e talvez irracional, se, por exemplo, quisermos comparar a probabilidade de obter 4 ou 8 com a probabilidade de obter 7.

A subtração de frações é de muito menos importância na prática do que a adição de frações e isto novamente deveria ser honestamente admitido. Há aplicações naturais para a subtração de frações simples, mas a principal justificativa para se gastar tempo com este tópico é que isto é matematicamente importante. Essa justificativa é válida – mas não justifica a ênfase demasiada neste tópico, nem o monótono trabalho realizado para inculcar confiança na execução do que não passa de um algoritmo banal.

Há dois pontos adicionais a mencionar nesta questão. Primeiro, a intuição deveria desempenhar um papel muito maior na aritmética de frações do que na álgebra de funções racionais. Não se deseja que um aluno calcule ½ + ½, ou mesmo ½ + ¾, com auxílio da regra para calcular a/b + c/d. Desta maneira, nos casos mais importantes, o de algoritmo não será usado. Segundo, há uma diferença importante entre os dois tópicos. Um aspecto muito importante da álgebra de funções racionais é a expansão em frações parciais. O processo análogo para números racionais é muito menos importante, e nem sequer é único. Deste modo 1/6 = 2/3 - ½ = ½ -1/3. É claro, o momento oportuno par tratar esta questão, e par considerar a razão par os diferentes comportamentos nos dois casos, é quando se está estudando funções racionais.

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este estudo possibilitou conhecer a história das frações, compreender a sua importância nas séries iniciais, evidenciando a necessidade de rever a metodologia aplicada, como também de promoção de mudanças que venham a facilitar a aprendizagem deste conteúdo de tão grande importância e utilização histórica. E, mesmo com o uso da tecnologia das calculadoras e dos computadores de última geração, para se obter resultados de forma rápida e precisa e também para resolver problemas considerados difíceis, o homem tem a necessidade do conhecimento matemático. Assim, faz-se necessário dinamizar o processo ensino-aprendizagem das frações, no sentido de despertar no docente e no discente os aspectos da aplicabilidade desse conteúdo na sala de aula e no próprio dia-a-dia, levando-os a despertar o gosto pelo estudo e a pesquisa. Não adianta dizer ao discente que esse ou aquele assunto é importante porque vai cair na prova ou porque está no programa. Ou então continuar usando os mesmos exemplos para todas as séries para exemplificar frações como é o que acontece com a barra de chocolate e a pizza.

Em vários momentos da vida é necessário analisar situações, refletir sobre assuntos diversos, tomar decisões e argumentar para deixar claro nosso ponto de vista. O que nos torna diferentes dos animais é a capacidade de contagem, que permite que superemos as limitações de nossos sentidos. A capacidade de associação tem grande importância na resolução de problemas do cotidiano quando temos o saber matemático. O docente deve pesquisar em diversas fontes o assunto que irá trabalhar em sala de aula, ele deve planejar e aplicar metodologias que venham a ajudar seus alunos de forma que todos tenham a capacidade de reconhecer a aplicabilidade do que foi estudado, neste caso, as frações. Para isto, o professor passa por um processo de formação pedagógico, intencional e organizado, composto de várias fases.

Muitas vezes, é difícil para o aluno do Ensino Fundamental assimilar o conceito de fração e alguns livros usam uma linguagem ainda mais difícil ou partem diretamente para o cálculo sem que haja uma introdução do assunto ou uma fundamentação que desperte o interesse em aprender tal conteúdo.