A FILOSOFIA DO ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA NA ERA DA TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO

1. RESUMO

Este trabalho mostra que, normalmente, os discentes temem a Matemática e isto desperdiça sua oportunidade de aprender melhor e adquirir o gosto por este aprendizado. Portanto, o objetivo desta pesquisa é enfatizar que um professor de matemática pode desafiar a curiosidade dos alunos, apresentando-lhes problemas compatíveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagações estimulantes, incutindo-lhes o gosto pelo raciocínio independente e proporcionando-lhes certos meios para alcançar seus objetivos. O educador de matemática bem preparado e consciente da importância dessa disciplina pode fazer com que qualquer aluno chegue a perceber que um problema de Matemática pode ser tão divertido quanto um jogo de palavras cruzadas, ou que o intenso trabalho mental pode ser um exercício tão agradável quanto uma animada partida de futebol. Assim, tendo experimentado prazer no estudo da Matemática, o aluno não a esquecerá facilmente e ainda poderá torná-la um hobby, um instrumento profissional, a própria profissão. Dessa maneira, está mais do que na hora de se apresentar uma reflexão sobre a real importância do ensino filosófico-matemático, ensino este que nas bases do conhecimento humano gera valor e influencia a formação da inteligência lógico-perceptiva-dedutiva do aluno. Neste contexto, a avaliação da Matemática nas séries iniciais, a formação do professor das séries iniciais, a interdisciplinaridade e a praticidade na vida fora da escola, são fundamentais. Se há professores defasados e alunos desinteressados é preciso estimulá-los, para que cheguem às universidades e ao desempenho de suas funções profissionais melhor preparados. Afinal, atualmente, as organizações exigem o conhecimento da Matemática, especialmente os bancos com seus ambientes informatizados, que tanto a utilizam no seu dia a dia.

Palavras-Chave: Matemática. Aluno. Professor. Informatização. Avaliação.

ABSTRACT

This study shows that, typically, the students fear that the Mathematics and wasted their best opportunity to learn and acquire the taste for this learning. Therefore, the objective of this research is to emphasize that a teacher of mathematics can challenge the curiosity of students, giving them consistent with the problems of knowledge and helping them through challenging questions, instilling them with a taste for independent thinking and providing them them some means to achieve their goals. The teacher of mathematics well prepared and aware of the importance of this discipline can make any student comes to realize that a problem of mathematics can be as fun as a game of crossword, or that hard work can be a mental exercise as pleasant as a lively soccer game. So, having experienced pleasure in the study of mathematics, the student does not forget easily and can still make it a hobby, a profession, the profession itself. Thus, it is more than the time to make a real reflection on the importance of teaching philosophy, math, teaching that this base of human knowledge creates value and influence the formation of intelligence, logical-deductive student's perceptive. In this context, the assessment of Mathematics in the initial series, the training of teachers from the initial series, the interdisciplinary and practical in life outside school, are fundamental. If there are teachers and students lagged encourage disinterested need them to come to the universities and the professional performance of their duties better prepared. After all, today, organizations require a knowledge of mathematics, especially those banks with their environment systems, which both use in their daily lives.

Keywords: Mathematics. Student. Teacher. Computerization. Assessment.

2. INTRODUÇÃO

Acredita-se que uma grande descoberta resolve um grande problema, embora sempre haja mais uma pequena descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser simples, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolve por seus próprios meios, experimenta a euforia e goza o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e nos traços psicológicos que marcam a individualidade do ser.

Um professor de Matemática tem, assim, uma grande oportunidade de marcar mentes e sensibilidades nas pessoas. Todavia, se ele preenche o tempo que lhe é concedido a exercitar seus alunos em operações rotineiras, acaba aniquilando o interesse e tolhendo o desenvolvimento intelectual do aluno, desperdiçando, dessa maneira, a sua oportunidade de aprender melhor e adquirir o gosto pelo aprendizado. Mas, se ele desafia a curiosidade dos alunos, apresentando-lhes problemas compatíveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagações estimulantes, pode incutir-lhes o gosto pelo raciocínio independente e proporcionar-lhes certos meios para alcançar este objetivo.

Um estudante cujo curso inclui Matemática tem também uma oportunidade única, que ficará evidentemente perdida se ele considerar esta matéria uma disciplina chata com a qual precisa obter tantos créditos e deve esquecê-los, o mais rápido possível, assim que passar pelas provas finais. A oportunidade pode ser desperdiçada até mesmo se o estudante tiver algum talento natural para a Matemática, pois ele, como todos os outros, precisa descobrir seus talentos e seus gostos. Afinal, não se tem como saber se determinada comida é agradável, se ela jamais for provada. Por isso, entende-se que, qualquer aluno pode chegar a perceber que um problema de Matemática pode ser tão divertido quanto um jogo de palavras cruzadas, ou que o intenso trabalho mental pode ser um exercício tão agradável quanto uma animada partida de futebol. Assim, tendo experimentado prazer no estudo da Matemática, ele não a esquecerá facilmente e haverá, então, uma boa probabilidade de que ela se torne alguma coisa a mais: um hobby, um instrumento profissional, a própria profissão ou uma grande ambição.

Na tentativa de compreender não só o porquê da dificuldade encontrada por grande parte dos alunos e muitos professores, do ensino fundamental ao ensino médio, em relação à Matemática, assim como as motivações e os procedimentos que podem ou devem ser assumidos para se resolver este impasse, foi que surgiu a vontade e criou-se a oportunidade de escrever o presente trabalho.

Acreditando-se nisso, surgiu a esperança de que este venha a ser útil aos professores que desejam desenvolver nos seus alunos a vontade de aprender Matemática. Ao mesmo tempo, deseja-se de alguma maneira, criar nos professores uma motivação para que possam utilizar-se melhor do ensino desta matéria, que envolve atualização de métodos e conhecimentos, tão desprezados (ou quem sabe até desconhecidos) por eles.

Entende-se também, muito embora este trabalho dedique atenção especial às necessidades de alunos e professores, que ele deverá interessar a qualquer um que se preocupe com a pesquisa e o aprendizado. É possível que este interesse seja mais difundido do que se presume, sem maior reflexão. O espaço dedicado pelos jornais e revistas populares às palavras cruzadas e a outros enigmas parece revelar que as pessoas passam algum tempo resolvendo problemas sem aplicação prática. Por trás do desejo de resolver este ou aquele problema que não resulta em nenhuma vantagem material, pode haver uma curiosidade mais profunda, um desejo de compreender os meios e as maneiras, as motivações e os procedimentos da resolução. De qualquer maneira, se estão espontaneamente lidando com a Matemática, isso significa que não estão tão alheios a ela.

Esta pesquisa, embora escrita de forma concisa, tem a pretensão de se tornar bastante esclarecedora e útil. Pode explorar até o estudo dos métodos de avaliação do ensino da Matemática no primeiro ciclo do ensino fundamental, pois aí o caráter e a formação geral do aluno se fazem presente. Quem sabe haja nos dias atuais uma nova forma na avaliação e no ensino da Matemática, uma vez que, segundo Giardinetto (1999), esta tenha dois aspectos: a rigorosa ciência de Euclides, que se revela uma ciência dedutiva, sistemática; e a Matemática em desenvolvimento atual, apresentando-se como uma ciência indutiva, experimental. Ambos os aspectos são tão antigos quanto à própria ciência, então, não custa verificar a Matemática in statu nascendi, no processo de ser inventada, e muito pouco apresentada desta maneira aos estudantes, aos professores e aos interessados.

Conforme o exposto, sente-se que a justificativa do tema é a certeza da seriedade e da necessidade deste tipo de estudo, ainda não muito explorado. Afinal, a Matemática como “a mãe de todas as ciências”, juntamente com a filosofia, ajuda no processo cognitivo do ser na busca por soluções mais racionais face aos problemas de ordem lógica. Entende-se que há, assim, uma relação direta entre a falta ou desmotivação do aprendizado filosófico-matemático em relação à formação da inteligência lógica dos alunos.

O objetivo geral busca apresentar uma reflexão sobre a real importância do ensino filosófico-matemático. O aprendizado filosófico-matemático nas bases do conhecimento humano gera valor e influencia a formação da inteligência lógico-perceptiva-dedutiva do indivíduo.

Os objetivos específicos buscam investigar: como é feita a avaliação direcionada à Matemática nas séries iniciais; se a formação do professor das séries iniciais tem respaldo para o ensino da Matemática, uma vez que grande parte dos alunos sente dificuldades com esta disciplina; se a Matemática é ou não interdisciplinar, se pelo menos é tida como tal e qual sua contribuição no contexto geral; como e o quanto os alunos podem ser estimulados a solucionar problemas através do ensino da Matemática, passando a vê-la como útil e prática para as questões de sua vida fora da escola;

Na delimitação do problema dir-se-ia que: conforme divulga a mídia, os professores têm certas dificuldades em transmitir o ensino da Matemática, e ainda estão defasados em suas práticas de ensino. Sendo isto verdade, há desestímulo nos alunos e, por conseqüência, desinteresse na matéria. O que fazer para solucionar este impasse? Como reconhecer a relevância do ensino de Matemática básica para subsidiar o educando quanto à importância do tema em relação às suas expectativas profissionais?

Nesse caso, as hipóteses são claras de que há um despreparo por parte dos alunos que chegam ao terceiro grau quanto aos princípios básicos e fundamentais do pensamento filosófico-matemático, não permitindo que eles resolvam questões elementares, por não entenderem os princípios matemáticos que as regem. Assim, apesar de alguns cursos existentes para aprimorar professores das séries iniciais, como o TEIA e o PROFA (dos quais se mencionará com maiores detalhes, mais adiante), professor e aluno continuam não se entendendo em relação ao ensino da Matemática. Ambos se encontram desmotivados e perdidos, sem realmente conseguirem desenvolver a sua própria capacidade. Ademais, são feitas as avaliações no ensino, mas se nada de efetivo ocorre em seguida para melhorar a educação, de nada servem tais avaliações.

Quanto à metodologia aplicada na pesquisa deste estudo, pode-se mencionar que esta vem sendo realizada por meio de uma análise exploratória, envolvendo um levantamento bibliográfico (leitura, resumo e resenha de livros, artigos da Internet, revistas científicas e jornais) e entrevistas informais com pessoas que tiveram experiências práticas com o problema pesquisado.

O referencial teórico encontra-se dividido nos quatro capítulos a seguir delimitados:

- O primeiro, explana sobre a disciplina Matemática, trazendo características da mesma, questionamentos sobre as dificuldades encontradas nela, sua filosofia e diferentes manifestações na educação escolar. Por exemplo: o que é difícil (se é difícil) no aprendizado e no ensino da mesma, em que momento é mais difícil, como são as dificuldades e o por quê delas existirem (se existem). Comenta também sobre a nova Leis de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) e sobre os Novos Parâmetros Curriculares no Ensino da Matemática, mencionando sobre algumas falhas e parecer no ensino da Matemática, no Brasil. O objetivo do capítulo é tentar esclarecer a importância da Matemática para o estímulo do pensar e do querer, esclarecendo que a interdisciplinariedade dela com outras matérias é imprescindível para sua total compreensão e aproveitamento.

- O segundo, relata sobre a filosofia do ensino-aprendizagem da Matemática e do relacionamento entre o professor e o aluno das séries iniciais, especialmente da escola pública, onde as dificuldades aparecem com mais freqüência. Comenta também sobre a formação geral do professor das séries iniciais, para verificação de seu preparo, na atualidade, que gerou tantas mudanças, e saber se ele acompanhou, se atualizou-se para lidar com este novo aluno da era tecnológica e questionadora. Fala também sobre o Construtivismo neste contexto.

- O terceiro, trata de conceitos sobre avaliação e esclarecerá quem é o SAEB, porque ele foi criado, a utilidade prática de sua existência, dentre outros detalhes; assim como as demais avaliações existentes, como o SARESP e a PROVA SP.

- O quarto, menciona sobre a importância da Matemática nas organizações e nos ambientes informatizados, evidenciando os bancos, neste contexto.

Por fim, apresentam-se as considerações finais, pois a conclusão mesmo virá após este e outros trabalhos terem servido de subsídio para que demais pesquisadores do tema possam se valer do que aqui foi abstraído e acrescentem novos conhecimentos aos aqui já elencados.

3. MATEMÁTICA: FILOSOFIA, ENSINO E QUESTIONAMENTOS NO PROCESSO DE APRENDIZAGEM

Segundo Vilela (2006), o tema da essência de um conhecimento é clássico na história da filosofia ocidental. As tentativas de explicar a relação, ou estabelecer uma correspondência, entre a matemática e a realidade física realizadas por vários filósofos ao longo da história podem, de modo simplificado, ser caracterizadas como abordagens filosóficas da matemática que a entendem como descritiva da realidade. Nessas concepções, a linguagem, ou um conceito específico, é entendida como uma ligação entre o sujeito que conhece e o objeto do conhecimento. A busca da essência é relevante para justificar a verdade do conhecimento e também para fixar os significados.

Os alunos acabam considerando a disciplina Matemática difícil e vendo-a, como se diz popularmente, como um bicho de sete cabeças porque “concepções descritivas da matemática podem levar a confusões conceituais como, por exemplo, à ‘associação de significados a referências’” (VILELA, 2006, p. 2).

A relação entre a matemática escolar e a matemática da vida pode ser pensada como uma relação entre um conceito ou uma palavra da linguagem, que corresponde à matemática da escola e um referente, que seria uma coisa do mundo, um fato ou um objeto vivenciado na matemática da rua.

A idéia que pode estar por traz dessa associação de significados é a de que os conceitos “abstratos” da matemática formalizada, alguns deles também presentes na matemática escolar, possuiriam um referente na matemática da rua, estabelecendo assim uma ligação, uma continuidade, um fio condutor entre os significados de um conceito da matemática formal em situações ou fatos do mundo. Esse referente também poderia estar mais próximo da matemática acadêmica – mais perfeita, mais completa - e, neste caso, a matemática da rua representaria uma ‘aplicação’ daquele conceito matemático que se ‘refletiria’ de ‘modo imperfeito’ na realização de práticas cotidianas e/ou do dia-a-dia¹ (VILELA, 2006, p. 6).

Nesses dois casos, a questão da unidade e da unicidade dos significados da Matemática nos remete à discussão da existência de uma suposta ‘essência’ ou ‘natureza essencial’ da Matemática. Neste sentido, alguns educadores, ao buscarem pelos significados da matemática na escola, tendem a ancorá-los em uma essência, filiando-se, desse modo, a conhecidas concepções filosóficas de matemática conhecidas como, falando de modo simplificado, platonismo, empirismo, etc., ou seja, àquelas que ancoram a compreensão dos significados num referente no mundo físico ou no mundo das idéias.

Quanto à significação dos conceitos matemáticos nos âmbitos da escola e da rua, observa-se, nos textos mencionados, que ela é sempre atribuída às situações vivenciadas, isto é, nas experiências concretas que ocorrem no mundo em oposição às situações teóricas e conceituais típicas da matemática escolar:

Quando a experiência diária é combinada com a experiência escolar é que os melhores resultados são obtidos. Isto não significa que os algoritmos, fórmulas e modelos simbólicos devam ser banidos da escola, mas que a educação matemática deve promover oportunidades para que esses modelos sejam relacionados a experiências funcionais que lhes proporcione significado (CARRAHER et al., 1988, p. 99).

Parece que, ao levar para a escola um problema do dia-dia, de uma situação vivenciada, portanto, que tem significado, ficaria garantido o significado conceitual correspondente. Essa relação entre os significados nos contextos escolar e da rua traz, portanto, o pressuposto de haver um significado comum nos dois contextos ou, dito de outra forma, um conceito da matemática escolar possuiria um significado único e seus diferentes usos, na rua inclusive, supostamente convergiriam para uma mesma essência. Neste sentido, a matemática da rua poderia acrescentar significado para a matemática escolar.

Essas noções até aqui apresentadas, faz com que se reflita sobre o ensino de Matemática, que este tem lugar dentro de certa sociedade, numa dada instituição e numa sala de aula particular, com interesses e necessidades específicas.

Essas questões sociais, se por um lado não modificam a natureza do conhecimento matemático em si, por outro, têm fortes implicações na maneira pela qual os professores vêem² a Matemática e seu ensino. Também, as representações matemáticas dos estudantes não apenas diferem das de seus professores, assim como as representações entre os professores variam bastante.

Para Brousseau (1989), um dos papéis³ do professor:

consiste em assumir uma epistemologia; se o professor não tem um bom controle de suas concepções epistemológicas em relação a diferentes tipos de situação, seus erros terão conseqüências mais graves. Ao mesmo tempo em que ensina um saber o professor recomenda como usá-lo. Manifesta-se assim uma posição epistemológica que o aluno adota muito mais rapidamente porque a mensagem permanece implícita ou ainda inconsciente. Infelizmente, essa posição epistemológica é difícil de ser identificada, assumida e controlada e, por outro lado, parece desempenhar um papel importante na qualidade dos conhecimentos adquiridos (apud PIRES, 1999, p. 10).⁴

Para Polya (1986)⁵ um professor de Matemática tem uma grande oportunidade de preencher o tempo que lhe é concedido a exercitar seus alunos em operações que não lhes sejam rotineiras, mas sim desafiadoras. Com isso, eles se sentem mais curiosos e estimulados a raciocinar em busca de solucionar seus problemas e alcançar seus objetivos.

Na prática, todos sabem que para se resolver um problema é preciso, antes de tudo, compreender o problema. E a compreensão do problema é saber qual a incógnita, quais os dados, qual a condicionante e como satisfazer essa condicionante. Assim como, saber se a condicionante é suficiente ou não para determinar à incógnita; se é redundante ou contraditória. Para tanto, provavelmente o mais indicado seria traçar uma figura, adotar uma notação adequada, separar as diversas partes da condicionante e, ver se é possível anotá-las.

Após as medidas acima, é preciso ainda encontrar a conexão entre os dados e a incógnita. Assim, é provável que a pessoa sinta-se obrigada a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata com o seu problema principal. Afinal, é necessário, de alguma maneira, atingir-se um plano para a resolução.

Em síntese, se não for possível resolver o problema proposto, deve-se procurar antes resolver algum problema correlato. Deve-se imaginar um problema correlato mais acessível, um problema mais genérico, mais específico, ou mais análogo. Não se pode esquecer de verificar se é possível resolver uma parte somente do problema. Manter apenas uma parte da condicionante, deixando a outra de lado. Ou mesmo até que ponto fica assim determinada a incógnita, como pode ela variar. Somente agindo dessa maneira, se estará sabendo se é possível ou não obter dos dados alguma questão útil, se é possível também pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita, e se deve-se ou não variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si. Percebe-se, então, que é imprescindível a utilização de todos os dados, utilizando-se de toda a condicionante, levando-se em conta todas as noções essenciais implicadas no problema. Somente dessa maneira é que se obtém um sim para que o plano possa ser, de fato, executado e a solução examinada.

Assim, o objetivo principal do ensino da Matemática é o auxílio ao aluno. Um dos mais importantes deveres do professor é o de auxiliar os seus alunos, o que não é fácil, pois exige tempo, prática, dedicação e princípios firmes.

O aluno deve adquirir tanta experiência pelo trabalho independente quanto lhe for possível. Mas se ele for deixado sozinho, sem ajuda ou com auxílio insuficiente, é possível que não experimente qualquer progresso. Se o professor ajudar demais, nada restará para o aluno fazer. Sendo assim, o professor deve auxiliar, nem demais nem de menos, mas de tal modo que ao estudante caiba uma “parcela razoável do trabalho”.

Se o aluno não for capaz de fazer muita coisa, o mestre deverá deixar-lhe pelo menos alguma ilusão de trabalho independente. Para isto, deve auxiliá-lo discretamente, sem dar na vista. O melhor é, porém, ajudar o estudante com naturalidade. O professor deve colocar-se no lugar do aluno, perceber o ponto de vista deste, procurar compreender o que se passa em sua cabeça e fazer uma pergunta ou indicar um passo que poderia ter ocorrido ao próprio estudante.

Para Polya (1986) ao procurar realmente ajudar o aluno, com discrição e naturalidade, o professor é repetidamente levado a fazer as mesmas perguntas e a indicar os mesmos passos. Assim, em inúmeros problemas, tem de indagar-se: qual é a incógnita? Podendo variar as palavras e indagar a mesma coisa de muitas maneiras diferentes: do que é que você precisa? O que é que quer de verdade? O que é que deve procurar fazer de fato para isso? A finalidade destas indagações é focalizar a atenção do aluno na incógnita. Algumas vezes, obtém-se o mesmo efeito de maneira mais natural, com uma sugestão: Considere a incógnita! A indagação e a sugestão visam ao mesmo objetivo: ambas tendem a provocar a mesma operação mental.

Assim, acredita-se que vale a pena o professor coligir e agrupar indagações e sugestões típicas, úteis para discutir os problemas com os alunos. Elas são igualmente úteis àquele que procura resolver problemas por si próprio, pois enumeram, indiretamente, operações mentais típicas, úteis para a resolução de problemas. Estas operações estão relacionadas na ordem em que é mais provável que ocorram.

Na prática, toda vez que um aluno indaga: qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? Esses tipos de indagações ele fará em sua vida ao tratar de problemas de qualquer tipo. A sua utilização não está restrita a nenhum assunto em particular – nesse caso aos problemas que o professor de matemática dá em classe e que parecem não ter valor prático algum para a vida do aluno. O problema de cada um pode ser algébrico ou geométrico, de análise combinatória ou de probabilidade, matemático ou não, um problema científico importante ou um mero enigma. Não há diferença, as indagações fazem sentido e podem auxiliar a todos a resolver um problema (POLYA, 1986).

As indagações e sugestões apresentadas são genéricas, claro que quanto à sua generalidade, são naturais, simples, óbvias e se originam do bom senso comum. Na prática, se a pessoa está com fome, se deseja então conseguir comida e pensa em meios conhecidos de obtê-la, ela passa a encontrar certa incógnita e pensar em maneiras conhecidas de encontrar essa ou outra incógnita semelhante. Somente assim, obtém um procedimento que freqüentemente apresenta bons resultados. Este indica certa conduta que se apresenta naturalmente a qualquer um que esteja realmente interessado em seu problema e tenha alguma dose de bom senso.

3.1. Professor e Aluno: Teoria, Imitação e Prática

Segundo Diniz (2003) há dois objetivos que o professor pode ter em vista ao dirigir para seus alunos uma indagação ou uma sugestão: primeiro, auxiliá-lo a resolver o problema que lhe é apresentado; segundo, desenvolver no estudante a capacidade de resolver futuros problemas por si próprio.

A experiência mostra que as indagações e sugestões apresentadas, se usadas de modo adequado, muito freqüentemente ajudam o estudante. Elas têm em comum duas características: bom senso e generalidade. Como se originam no bom senso comum, muitas vezes surgem naturalmente. Elas bem poderiam ter ocorrido ao próprio aluno. Por serem genéricas, auxiliam discretamente: apenas indicam a direção geral, deixando muito para o estudante fazer.

Mas os dois objetivos mencionados estão intimamente ligados: se o aluno conseguir resolver o problema que lhe é apresentado, terá acrescentado alguma coisa à sua capacidade de resolver problemas. Não se deve, então, esquecer de que as indagações são genéricas, aplicáveis a muitos casos. Se a mesma indagação for proveitosamente repetida, dificilmente o estudante deixará de notá-la e será induzido a formular, ele próprio, essa indagação em situação semelhante. Pela repetição da indagação, poderá chegar à idéia certa. Com tal sucesso, ele descobrirá a maneira correta de utilizar a indagação e assim a terá realmente assimilado.

O aluno poderá assimilar tão bem algumas das questões apresentadas que finalmente será capaz de apresentá-la a si próprio no momento apropriado e de realizar, natural e vigorosamente, a operação mental correspondente. Quando tal acontece, o estudante extrai o maior proveito possível da lista. A questão é o que poderá o professor fazer para obter este melhor resultado possível.

Percebe-se que a resolução de problemas pode ser uma habilitação prática como o é a prática da natação. Adquire-se qualquer habilitação por imitação e prática. Ao tentar nadar, uma pessoa imita o que os outros fazem com as mãos e os pés para manterem suas cabeças fora d’água e, afinal, aprende a nadar pela prática da natação. Ao tentar resolver problemas, essa mesma pessoa tem de observar e imitar o que fazem outras pessoas quando resolvem os seus e, por fim, aprende a resolver problemas, resolvendo-os.

Em concordância de idéias, Polya (1986) e Diniz (2003) afirmam que o professor de Matemática que deseja desenvolver nos estudantes a capacidade de resolver problemas deve incutir em suas mentes algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e de praticar. Quando o professor tenciona desenvolver nos seus alunos as operações mentais correspondentes às indagações e sugestões apresentadas, ele as apresenta tantas vezes quanto o puder fazer com naturalidade. Além disso, quando o professor de Matemática resolve um problema em aula, deve dramatizar um pouco as suas idéias e fazer a si próprio às mesmas indagações que utiliza para ajudar os alunos. Graças a esta orientação, o estudante acabará por descobrir o uso correto das indagações e sugestões e, ao fazê-lo, adquirirá algo mais importante do que o simples conhecimento de um fato matemático qualquer.

Reiterando, sintetiza-se que o ensino-aprendizagem da Matemática, logo de início, já pode levar o aluno a distinguir quatro fases de trabalho: compreender o problema, perceber claramente o que é necessário; ver como a incógnita está ligada aos dados, procurar ter a idéia da resolução e estabelecer um plano; executar o plano e encontrar uma resolução completa e discuti-la.

Cada uma destas fases tem a sua importância. Pode acontecer que a um aluno ocorra uma excepcional idéia brilhante e, saltando por sobre todas as preparações, ele chegue impulsivamente à solução. Estas idéias felizes são, evidentemente, muito desejáveis, mas alguma coisa muito inconveniente e desastrosa pode resultar se o estudante deixar de lado qualquer uma das quatro fases sem dela ter uma perfeita noção. Acontecerá o pior se o estudante atirar-se a fazer cálculos e a traçar figuras sem ter compreendido o problema. É geralmente inútil executar detalhes sem perceber a conexão principal ou sem ter feito uma espécie de plano. Muitos enganos podem ser evitados se, na execução do seu plano, o estudante verificar cada passo. Muitos dos melhores efeitos podem ficar perdidos se ele deixar de reexaminar e de reconsiderar a solução completa.

Primeiro de tudo, o enunciado verbal do problema precisa ficar bem entendido. O aluno deve também estar em condições de identificar as partes principais do problema, a incógnita, os dados, a condicionante.

O aluno deve considerar as partes principais do problema, atenta e repetidamente, sob vários pontos de vista.

Conforme Lopes et. ali (1994,. p. 36), “(...) para calcular a diagonal de um paralelepípedo retângulo do qual são conhecidos o comprimento, a largura e a altura”, o aluno precisa conhecer o teorema de Pitágoras, mas se tiver somente um conhecimento sistemático muito superficial de Geometria Espacial já basta para iniciar. Assim, o professor pode aqui contar com uma pequena familiaridade dos alunos com as relações espaciais. A sala de aulas é um paralelepípedo retângulo cujas dimensões podem ser medidas ou estimadas. Os alunos devem calcular, "medir indiretamente", a diagonal da sala. O professor indica o comprimento, a largura e a altura da sala e, com um gesto, mostra a diagonal. Ele anima a figura que traçou no quadro-negro por contínuas referências à sala.

Na prática, o diálogo entre o professor e seus alunos pode principiar assim: qual é a incógnita? Qual é o comprimento da diagonal de um paralelepípedo? Quais os dados do comprimento, da largura e da altura do paralelepípedo? Qual a letra que deve denotar a incógnita?

Para sentir a posição do estudante, o professor deve pensar na sua própria experiência, nas dificuldades e sucessos que ele mesmo encontrou ao resolver problemas.

Acredita-se, naturalmente, que é difícil ter uma boa idéia se pouco se conhece do assunto, e que é impossível tê-la se dele nada se sabe. As boas idéias são baseadas na experiência passada e em conhecimentos previamente adquiridos. Para uma boa idéia, não basta a simples recordação; ao mesmo tempo, não é possível que se tenha uma idéia boa sem relembrar alguns fatos pertinentes. Não bastam os materiais para a construção de uma casa, embora não se possa construí-la sem lançar mão dos materiais necessários. Os materiais indispensáveis à resolução de um problema matemático são certos itens relevantes do conhecimento matemático já adquirido, tais como problemas anteriormente resolvidos e teoremas anteriormente demonstrados. Assim sendo, segundo Lopes (1994), deve-se muitas vezes começar o trabalho pela indagação: conhece um problema correlato?

Em síntese, para resolver um problema é preciso saber por onde começar e, o mais indicado é iniciar pelo enunciado do problema. Para saber o que fazer, é preciso visualizar o problema como um todo, com tanta clareza e nitidez quanto possível. A vantagem em assim proceder é compreender o problema, familiarizar-se com ele, gravar na mente o seu objetivo. A atenção concedida ao problema pode também estimular a memória e propiciar a recordação de pontos relevantes.

Para o aperfeiçoamento da compreensão, também é preciso começar de novo pelo enunciado do problema, quando este estiver tão claro e tão bem gravado na mente poderá até perdê-lo de vista por um momento sem temor de perdê-lo por completo. Para tanto, deve-se isolar as partes principais do problema. A hipótese e a conclusão são as partes principais de um "problema de demonstração"; a incógnita, os dados e a condicionante são as partes principais de um "problema de determinação". Verificar as partes principais do problema, considerando-as uma a uma, em seguida examinando-as em várias combinações, relacionando cada detalhe com os outros detalhes e cada um destes com a totalidade do problema.

A vantagem em assim proceder é que se deve preparar e clarificar os detalhes que mais tarde terão uma função a desempenhar. Assim, o início deve ser pelo exame das partes principais do problema, quando estas estiverem, nitidamente dispostas e claramente concebidas, graças a todo o trabalho anterior, e quando a memória estiver receptiva. Aí sim, é preciso considerar o problema sob diversos pontos de vista e procurar contatos com seus conhecimentos previamente adquiridos.

A consideração do problema deve ser feita por diferentes lados. Destacando-se as diferentes partes, examinando-se os diversos detalhes, repetidamente os mesmos detalhes, mas de maneiras diferentes, combinando-os diferentemente, abordando-os por diversos lados. Procurando perceber algum significado novo em cada detalhe, alguma nova interpretação do conjunto.

Procurando contatos com os conhecimentos anteriormente adquiridos. Tentando pensar naquilo que já serviu de auxílio em situações semelhantes. Tentando reconhecer algo de familiar no que é examinado e percebendo algo de útil naquilo que reconhecer.

Conforme Maranhão (1994) é possível perceber uma idéia proveitosa, talvez a idéia decisiva que indique, num relance, o caminho para chegar ao fim desejado. Uma idéia é proveitosa quando mostra todo o caminho ou parte dele; quando sugere, com maior ou menor nitidez, como prosseguir. As idéias são mais ou menos completas. É importante lembrar que já é uma sorte ter uma idéia qualquer. Agora, se a idéia é incompleta, é preciso levá-la em consideração. Se parecer vantajosa, deve-se examiná-la mais demoradamente. Se parecer confiável, deve-se verificar até onde ela leva a reconsiderar a situação. Esta se modifica graças à idéia proveitosa, ao se examinar a nova situação por diversos lados e ao se procurar contatos com seus conhecimentos anteriormente adquiridos.

A real vantagem em tornar a fazer isso é que, assim, é possível que se tenha sorte e possa surgir uma idéia e se não nesta, na próxima idéia ou nas próximas idéias, se possa chegar a uma resolução e, de acordo com Polya (1986), procurando utilizá-la em outros problemas. A vantagem está na possibilidade de encontrar-se uma outra resolução melhor, que descubra fatos novos e interessantes, além de alguns conhecimentos bem ordenados e prontos a serem utilizados e assim desenvolver-se-á a capacidade de resolver problemas na prática, valorizando-se as teorias matemáticas aprendidas em sala de aula.

3.1.1. Competências Fundamentais do Professor para Trabalhar com Situações-Problema

É extremamente importante que todo professor tenha a verdadeira noção do que seja, de fato, o saber pedagógico. Mesmo que ele saiba que é preciso negociar problemas ou questões, ainda assim é preciso saber analisar a própria prática. Mesmo que consiga identificar o momento adequado de intervir no processo do aluno, deve buscar parcerias para tanto. Mesmo que, sempre forneça informações e indique fontes, ainda é preciso provocar a formalização de conceitos e considerar o aluno como ser total.

Assim, para ensinar, tendo o domínio pedagógico, é preciso também saber o conceito de autonomia. Conforme Morin:

toda vida autônoma é uma trama entre dependências; recorrência recursiva entre autonomia e dependência; busca da autonomia: fluxo recorrente entre sujeitos e escola; interferindo e podendo modificar a escola; possibilidade de criar um movimento de mudança dos sujeitos para o sistema; em que os educadores são os autores da mudança na escola (MORIN apud ALMEIDA, 2000, p. 3).

Em se tratando de matemática, ou problemas de matemática, pode-se afirmar que estes não são muito diferentes dos problemas no sentido geral. Ou seja, conforme lembra Perrenoud (2000) – in ALMEIDA (2000, p. 3), trata-se de “uma situação que obriga a transpor um obstáculo graças a uma aprendizagem inédita, quer se trate de uma simples transferência, de uma generalização ou da construção de um conhecimento inteiramente novo”.

Ou

a aprendizagem para a solução de problemas somente se transformará em autônoma e espontânea se transportada para o âmbito do cotidiano, se for gerada no aluno a atitude de procurar respostas para suas próprias perguntas ou problemas se ele se habituar a questionar-se ao invés de receber somente respostas já elaboradas por outros (POZO apud ALMEIDA, 2000, p. 3).

Segundo Piaget (1982), autonomia é a capacidade de se autogovernar; pensar por si mesmo; decidir entre o certo e o errado (moral); decidir entre o verdadeiro e o falso (intelectual); levar em consideração fatores relevantes, independentemente de recompensa ou punição.

Nesse sentido, problema refere-se a situações complexas, imprevisíveis e abertas, em função do contexto e das características das pessoas, que tem sentido para o aluno, que na opinião de Vygotsky (1994), envolvem os conhecimentos ancorados na ação e os conhecimentos em uso.

As características de uma situação-problema podem ser a resolução de obstáculos: conflitos sócio-cognitivos; o caráter concreto - que permite ao aluno formular hipóteses, conjecturas em que, os alunos se apropriam da situação como o seu problema. Não dispõem de meios para solucioná-la de forma imediata e, exige dos alunos mobilização de conhecimentos anteriormente adquiridos, representações e habilidades estratégias. Enfim, é um desafio que não deve estar fora do alcance dos alunos.

3.2. Os Parâmetros Curriculares Nacionais e o Ensino da Matemática

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN – apud BRASIL, 1998) indicam como objetivos do ensino fundamental que os alunos sejam capazes de:

• compreender a cidadania como participação social e política, assim como exercício de direitos e deveres políticos, civis e sociais, adotando, no dia-a-dia, atitudes de solidariedade, cooperação e repúdio às injustiças, respeitando o outro e exigindo para si o mesmo respeito;

• posicionar-se de maneira crítica, responsável e construtiva nas diferentes situações sociais, utilizando o diálogo como forma de mediar conflitos e de tomar decisões coletivas;

• conhecer características fundamentais do Brasil nas dimensões sociais, materiais e culturais como meio para construir progressivamente a noção de identidade nacional e pessoal e o sentimento de pertinência ao país;

• conhecer e valorizar a pluralidade do patrimônio sociocultural brasileiro, bem como aspectos socioculturais de outros povos e nações, posicionando-se contra qualquer discriminação baseada em diferenças culturais, de classe social, de crenças, de sexo, de etnia ou outras características individuais e sociais;

• perceber-se integrante, dependente e agente transformador do ambiente, identificando seus elementos e as interações entre eles, contribuindo ativamente para a melhoria do meio ambiente;

• desenvolver o conhecimento ajustado de si mesmo e o sentimento de confiança em suas capacidades afetiva, física,cognitiva, ética, estética, de inter-relação pessoal e de inserção social, para agir com perseverança na busca de conhecimento e no exercício da cidadania;

• conhecer o próprio corpo e dele cuidar, valorizando e adotando hábitos saudáveis como um dos aspectos básicos da qualidade de vida e agindo com responsabilidade em relação à sua saúde e à saúde coletiva;

• utilizar as diferentes linguagens-verbais, musical, matemática, gráfica, plástica e corporal - como meio para produzir, expressar e comunicar suas idéias, interpretar e usufruir das produções culturais, em contextos públicos e privados, atendendo a diferentes intenções e situações de comunicação;

• saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos;

• questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação (BRASIL, 1998).⁶

Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCNM) têm como finalidade fornecer elementos para ampliar o debate nacional sobre o ensino dessa área do conhecimento, socializar informações e resultados de pesquisas, levando-as ao conjunto dos professores brasileiros.

Visam à construção de um referencial que oriente a prática escolar de forma a contribuir para que toda criança e jovem brasileiros tenham acesso a um conhecimento matemático que lhes possibilite de fato sua inserção, como cidadãos, no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura.

Como decorrência, poderão nortear a formação inicial e continuada de professores, pois à medida que os fundamentos do currículo se tornam claros fica implícito o tipo de formação que se pretende para o professor, como também orientar a produção de livros e de outros materiais didáticos, contribuindo dessa forma para a configuração de uma política voltada à melhoria do ensino fundamental.

Conforme os PCNM, é preciso rever-se alguns aspectos do ensino de Matemática no Brasil, apontando duas grandes questões: a necessidade de reverter o quadro em que a Matemática se configura como um forte filtro social na seleção dos alunos que vão concluir, ou não, o ensino fundamental e a necessidade de proporcionar um ensino de Matemática de melhor qualidade, contribuindo para a formação do cidadão. Essa análise abre uma discussão sobre o papel da Matemática na construção da cidadania - eixo orientador dos PCN, enfatizando a participação crítica e a autonomia do aluno. Sinaliza a importância do estabelecimento de conexões da Matemática com os conteúdos relacionados aos Temas Transversais - Ética, Pluralidade Cultural, Orientação Sexual, Meio Ambiente, Saúde, Trabalho e Consumo -, uma das marcas deste parâmetros.

Os PCN explicitam o papel da Matemática no ensino fundamental pela proposição de objetivos que evidenciam a importância de o aluno valorizá-la como instrumental para compreender o mundo à sua volta e de vê-la como área do conhecimento que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas. Destacam a importância de o aluno desenvolver atitudes de segurança com relação à própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, de cultivar a auto-estima, de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluções. Adotam como critérios para seleção dos conteúdos sua relevância social e sua contribuição para o desenvolvimento intelectual do aluno, em cada ciclo.

Indicam a Resolução de Problemas como ponto de partida da atividade Matemática e discutem caminhos para "fazer Matemática" na sala de aula, destacando a importância da História da Matemática, da Filosofia da Matemática e das Tecnologias da Comunicação.

Nada mais do que tudo aquilo que se comentou ao longo desse capítulo, ou seja, é importantíssimo o processo de ensino-aprendizagem da Matemática para que professor e aluno possam juntos desafiar seus conhecimentos e destinos, traçando caminhos que possam facilitar os objetivos de suas vidas e das inúmeras resoluções de questões relativas a elas, encontradas no cotidiano de cada um.

4. A FILOSOFIA DO ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA NOS CICLOS BÁSICOS DA EDUCAÇÃO: PROFESSOR X ALUNO, TECNOLOGIA X CONSTRUTIVISMO

Este capítulo procura sintetizar a Filosofia da Educação Matemática nos ciclos básicos da educação formal, conforme o parecer de alguns autores de renome neste sentido, disponíveis na literatura, e das conversas informais que ao longo deste trabalho foram obtidas por meio de alguns professores – tanto de escolas públicas quanto particulares - com larga experiência nesta questão.

De acordo com Bicudo e Garnica (2003), mencionar sobre Filosofia da Educação Matemática é avaliar intenções, finalidades, propósitos e valores subjacentes à educação matemática, tematizando criticamente seus objetos, objetivos, métodos, significação e relevância social.

Conforme estes autores, os professores de Matemática ao planejarem as atividades de aprendizagem precisam estar conscientes do que irão ensinar, de como ensinar e do significado da Matemática para seus alunos. Eles não podem simplesmente se apoiar na pedagogia fundamentada formalmente - que de acordo com Araújo (2005), trata-se de um formalismo vulgar, pois não apresenta axiomas ou postulados para provar as verdades Matemáticas, e, sendo assim, posturas e valores, próprios da filosofia positivista insinuam-se, são reproduzidos, fortalecidos e legitimados.

(...) a prática pedagógica rotineira, impregnada da formalidade vinda da filosofia positivista, impede que os professores adquiram uma visão global sobre os aspectos pedagógicos e sociais do seu trabalho. Esta falta de visão, não lhes permite elaborar propostas de atividades pedagogicamente favoráveis para superar as dificuldades, deficiências e impropriedades, encontradas na prática pedagógica (ARAÚJO, 2005, p. 75).

Neste caso, torna-se evidente que não adianta preparar inúmeras atividades com vistas a uma metodologia que não comunga com a filosofia e a concepção de ensino que os professores de Matemática costumam apresentar. Não basta este professor querer se inserir numa concepção pedagógica, sem acreditar, apostar, defender e, sobretudo, lutar por ela. É como uma filosofia de vida, que a pessoa defende e mantém porque é assim que ela prefere e gosta de viver.

Apesar de muito esforço, alegam alguns professores e Araújo (2005), que ainda perdura um método de ensinar Matemática imposto para a sociedade desde o século XVII (Método René Descartes). Isto significa que, do mesmo modo que nos são ensinadas as demais disciplinas, o sistema e a metodologia da educação atual têm se caracterizado por um processo de respostas a questões que jamais foram postas pelos participantes. Um processo imitativo e acrítico no qual as respostas não são produzidas a partir da reflexão do aluno, ou grupo deles, sobre sua ação em uma dada realidade.

Mediante isso, dá para entender o porquê de muitos professores de Matemática apontar as suas dificuldades no enfrentamento das questões que não satisfazem seus ideais a respeito da relação com seus alunos e a conseqüente aprendizagem. Eles têm consciência de que há algo errado e até buscam alternativas de apresentação de conteúdos para seus alunos, no entanto, revelam certa ingenuidade em acreditar que aquele ato daria resposta imediata as suas angústias. “Não há um entendimento de que subjacente àquela apresentação de conteúdo, aos alunos, exista uma concepção de matemática, de ensino e de aprendizagem que penetre com a maior facilidade nas concepções já arraigadas” (ARAÚJO, 2005, p. 76).

Entende-se que a característica externa da ação de expor um conteúdo é que proporciona a aprendizagem do aluno e a conseqüente superação dos problemas a que ela veio. Questões internas da Matemática e do processo pedagógico precisam ser percebidas pelos professores. Para estes, a Matemática não pode ser um todo inquestionável.

Nos tempos modernos, os fundamentos da Matemática estão constantemente sendo colocados em xeque a ponto de emergirem explicações filosóficas para eles. Daí que não só formalismo, lógica e intuição, juntos, deveriam fazer parte do vocabulário e, conseqüentemente, do referencial teórico dos professores.

Acredita-se, então, que urge uma pedagogia que contribua para a crítica efetiva dos sujeitos sobre o processo de significar e ressignificar conceitos. Tal pedagogia deve fundamentar-se numa concepção que recupere o sentido social, humano e solidário do ato de conhecer. É preciso sair da menoridade, como sabiamente afirmou Kant (1781)⁷. Para tanto, é preciso também acreditar que - antes do professor instituir objetivo ou atividade teórica ou prática em que a finalidade seja o ensino da Matemática - este precisa saber responder as questões filosóficas sobre a natureza da educação e da finalidade da ciência que fundamenta a disciplina que leciona. Só assim, o mestre poderá colaborar para a formação de um indivíduo com ideais transformadores (DUARTE, 1993).

Por outro lado, de acordo com Saviani (2000), definir filosofia e filosofia da educação não é uma questão simples, pois a sua multiplicidade conceitual varia de acordo com a concepção epistemológica defendida pelos diferentes filósofos. Para alguns, a filosofia deve se preocupar com a essência; para outros, com o fenômeno; e alguns acreditam que a busca da verdade é a função da filosofia. Para Platão, a filosofia era o desenvolvimento do saber em benefício do homem.

Bicudo e Garnica (2003), afirmam que a Filosofia da Educação faz uso das análises e reflexões sobre a educação, a aprendizagem, o ensino, etc., não os olhando somente da perspectiva daqueles que estão preocupados com a educação do outro, mas principalmente com o significado que a mesma assume ao ser anunciada através do processo de ensino-aprendizagem. Neste caso, é preciso sim indagar: O que existe na Matemática? Como se conhece isto que existe na Matemática? Qual o valor da Matemática? Ou seja, se a filosofia da Matemática remete ao pensar analítico, critico e reflexivo.

Além de tudo isso, a Matemática está sempre em crises de fundamentos, as quais deram início a algumas correntes filosóficas que são: Logicismo, Formalismo e Intuicionismo.

O logicismo, segundo Russel (1974)⁸, garante que a Matemática reduz-se à lógica e que é impossível traçar divisões entre elas. A lógica, por sua vez, sempre exerce atração sobre muitas mentes, simplesmente porque em um universo onde tanta coisa é incerta, ela nos oferece maneiras de obtermos certezas com relação à validade ou falsidade das afirmações. Desta forma, é possível enfatizar que se utiliza a lógica o tempo todo, ou seja, a lógica é usada quando se argumenta e se argumenta quando se tenta convencer outras pessoas de algo ou quando se tenta defender a si próprio de alguma acusação que nos é feita. Assim sendo, não é de se estranhar que ao se argumentar, se faz o uso de argumentos que nos permitam provar a verdade (ou falsidade), a qual se está colocando (apud SILVA, 1999).

Por outro lado, quando se cita que “todos os homens são racionais”, que “Antônio é homem”, logo “Antônio é racional”, eis aí um conjunto de proposições que se chama de um argumento. Neste caso, tem-se um argumento válido. Nele, todas as premissas são verdadeiras e a conclusão também - ou, pelo menos, parecem ser -, à primeira vista (CYRINO e PENHA, 1986 apud SILVA, 1999).

Assim, os argumentos são constituídos por proposições, e, por isso, a lógica se interessa por proposições, enquanto componentes básicos de argumentos.

Quanto ao Formalismo, de acordo com Costa (1971 – apud SILVA, 1999), trata-se da ciência da estrutura dos objetos em Matemática, sendo que os números são as propriedades estruturais mais simples desses objetos constituindo-se, desta forma, também em objetos.

Segundo Barker (1976)⁹, o matemático pode estudar as propriedades dos objetos somente por meio de um sistema apropriado de símbolos, reconhecendo e relevando os aspectos destituídos de importância dos sinais que utiliza, pois, uma vez que se tenha um sistema de sinais adequados, não é mais necessário se preocupar com seus significados, sendo assim, os próprios símbolos possuem as propriedades estruturais que interessam. Neste sentido, o matemático deve apenas investigar, segundo os formalistas, as propriedades estruturais dos símbolos, e, portanto dos objetos, independentemente de seus significados. Assim como na geometria ou na álgebra, para simplificar e padronizar determinadas questões, são introduzidos conceitos não reais que são apenas convenções lingüísticas, também se justifica a introdução, na Matemática, de conceitos e princípios sem significado dos conteúdos.

Para Silva (1999), o formalismo deseja transformar o método axiomático, de técnica que é, na essência mesma da Matemática. O método axiomático não serve somente para economizar pensamento e sistematizar teorias, ele constitui um ótimo instrumento de trabalho e de pesquisa no domínio da Matemática. Assim por exemplo, grandes avanços feitos no séc. XX em álgebra, topologia e em outros ramos da Matemática, encontram-se correlacionados, de modo intimo, com o método axiomático.

Um texto formal é uma cadeia de símbolos. Quando manipulada por um matemático ou por uma máquina, é transformada em uma outra cadeia de símbolos. Tais manipulações de símbolos podem, elas próprias, ser o objeto de uma teoria matemática. Quando se considera a manipulação como sendo feita por uma máquina, a teoria é chamada de teoria dos autômatas, pelos informáticos, ou teoria de recursividade, pelos lógicos. Quando a manipulação é considerada como sendo efetuada por um matemático, a teoria é chamada de teoria da demonstração (DAVIS e HERSH, 1986, p.169-170 – apud SILVA, 1999, p. 13).

Segundo Fiorentini (1995), o formalismo do sistema formal computacional e o do teorema de Pitágoras tem raízes fortemente marcadas no formalismo clássico que predominou o ensino, no Brasil, até os anos 1950. De acordo com o mesmo autor, as principais características do formalismo clássico no ensino da Matemática são:

a) o ensino da Aritmética e da Álgebra é baseado em teorias constituídas de regras prontas, demonstrações, como o exemplo que colocamos acima, deduções de fórmulas e a busca de teoremas e axiomas para fundamentar o conteúdo trabalhado, em Geometria; as verdades são logicamente organizadas;

b) ênfase no aspecto computacional, visto que a finalidade do ensino pautava-se em desenvolver habilidades computacionais, bem como o desenvolvimento do pensamento lógico dedutivo; sendo assim, o processo ensino-aprendizagem se resumia em transmissão e memorização dos conteúdos;

c) o importante é a teoria, as significações e aplicações, ficam em segundo plano.

Conforme as características mencionadas, verificou-se que a corrente formalista clássica é a-histórica e estática, compreendendo a ensino da Matemática como transmissão de uma saber pronto e acabado. Pode-se citar também a Teoria dos Conjuntos, como um exemplo de demonstração Matemática pautada na tendência formalista moderna que se manifestou no Brasil por volta dos anos 1960/1970 (SILVA, 1999).

Nesse caso, o processo ensino-aprendizagem se resumia em transmissão e memorização dos conteúdos. E isto é, segundo Pavanello (apud Bicudo e Garnica, 2003), um dos problemas que se encontra no processo ensino-aprendizagem da Matemática, pois o formalismo consiste em repetir fórmulas vazias nas aulas, que os estudantes copiam diligentemente para os cadernos, decorando-as na véspera dos exames.

Para Vianna (1995) - apud Bicudo e Garnica, 2003, o formalismo se encarrega de desunir a historicidade do processo ensino aprendizagem da Matemática, uma vez que, para os formalistas, não há historicidade para ser abordada no desenvolvimento dos conceitos. Neste sentido o formalismo é considerado o suporte da filosofia positivista.

Em relação ao intuicionismo, “Deus nos deu os números naturais, o resto, é obra dos homens...” (KRONEKER, apud COSTA, 1971, p. 21)¹⁰. Segundo Costa (1971) – apud Silva (1999), Kroneker com tal afirmação, queria na verdade, mencionar que em Matemática, tudo deve ser intuitivo e efetivamente construído pelo matemático (partindo dos números naturais, tidos como claros e intuitivos), sendo que tal edificação significa uma ação livre da mente. Sendo assim, o intuicionismo na filosofia da Matemática, significa uma abordagem Matemática de acordo com a atividade mental construtiva dos humanos. Ou seja, qualquer objeto matemático é considerado um produto da construção da mente humana e, portanto, a existência de um objeto é equivalente à possibilidade de sua construção.

...a intuição é uma faculdade da mente que conhece imediatamente; isto é, a intuição não depende de qualquer meio para fazer o conhecimento. Em particular, a intuição é independente da razão e da linguagem, (estes elementos passam a ser somente uma ajuda a memória). O resultado da atividade construtiva da mente, porém é conhecido absolutamente certo e evidente (porque construído) (apud SILVA, 1999, p. 17).

Cita Vilela (2006) que o termo intuicionismo é utilizado para indicar atitudes filosóficas ou científicas diversas, que tem em comum o uso da intuição no sentido mais geral do termo. Neste caso, a relação imediata com um objeto qualquer, sendo assim considerada por Descartes, como o caminho que leva ao conhecimento. Todavia, quando Abbagnano (2003) se reporta a corrente filosófica da Matemática, o referido autor faz a seguinte afirmação:

...corrente matemática fundada por L.E.J. Brower, inspirada nas idéias de L. Kroneker (...), ...as teses típicas do intuicionismo de Brower são as seguintes: 1º a existência dos objetos matemáticos é definida pela sua possibilidade de construção(...);2º o principio da terceiro excluído não é válido(...); 3º as definições impredicativas não são válidas (ABBAGNANO, 2003, p. 583 apud VILELA, 2006, p. 29).

De acordo com Costa (1971) – apud Silva (1999), alguns matemáticos, como Poincaré e Weyl, comungaram das mesmas teses de Kroneker, porém mostraram-se menos radicais. Contudo, Brower, um geômetra holandês, resolveu levar as teses de Kroneker ao extremo, elaborando desta forma uma nova corrente filosófica na Matemática conhecida como intuicionismo. E, conforme este autor, a Matemática não se compõe de verdades eternas, semelhantes às idéias platônicas. Opondo-se, ele procura demonstrar que o saber matemático escapa a toda e qualquer caracterização simbólica e se forma em etapas sucessivas que não podem ser conhecidas de antemão. A Matemática, em resumo, pertence à categoria das atividades sócio-biológicas e se destina a satisfazer certas exigências vitais do homem. Esta atividade pode ser prolongada, mas é pura ilusão querer sintetizá-la em grupo de fórmulas previamente estabelecidas, como pretendem os logicistas e os formalistas, aos quais Brouwer se opõe fortemente. De acordo com os intuicionistas, o matemático não descobre as entidades matemáticas, pois é ele próprio quem cria as entidades que estuda.

O matemático intuicionista, enquanto matemático, não se oporá a qualquer filosofia que sustente que o espírito humano, em sua atividade criadora, reproduza os seres de um mundo transcendente, mas considerará semelhante doutrina como excessivamente especulativa para servir de fundamentos a Matemática pura. Sendo assim, a Matemática, de acordo com o intuicionismo, originou-se, historicamente, da experiência, através dos sentidos.

Cita Fiorentini (1995) que os intuicionistas acreditam ser a Matemática uma atividade totalmente autônoma e auto-suficiente. Em decorrência disto, os filósofos do intuicionismo, não aceitam como válidas certas demonstrações que tem por objetivo provar a veracidade dos objetos matemáticos (características de outras correntes filosóficas). Sendo assim, Brower defende que os juízos matemáticos são sintéticos, pois é uma construção livre e criativa do espírito humano, e a priori, porque consiste de intuições puras, isto é, intuições destituídas de todo o conteúdo sensorial. Em resumo, a intuição matemática estrutura o material empírico. Ao elaborar desta forma a questão da veracidade matemática coloca-se como um problema interno seu e não como decorrência de sua relação com o mundo exterior. Tal concepção nos remete a Kant (1781), ao procurar justificar as leis matemáticas recorrendo ao espaço e tempo como formas de intuição pura.

Corbisier (1987) – apud Fiorentini (1995), afirma que a intuição é um bom instrumento que pode ser utilizado para obter, a partir da observação, possíveis interpretações dos fatos. Enfatiza que a mesma representa um conhecimento imediato, direto da realidade, acreditando-se, então, que o percebido é verdade, sem fazer uso de análises prévias. Contudo, o mesmo autor salienta que se deve ter cuidado, pois muitas vezes a intuição pode enganar.

Soares (1995, p. 65) concorda e alega que “intuições são aquelas idéias que parecem tão evidentes que são aceitas como verdadeiras, sem questionamentos”. Por exemplo, Euclides apresenta, em Os Elementos, livro 1, em seguida às definições e postulados, algumas noções comuns (intuitivas!). Uma delas diz: “(...) O todo é maior que a parte”. Essa noção comum é uma proposição intuitiva que foi aceita como verdadeira até o século XIX (apud FIORENTINI, 1995).

Entende-se, então, que intuição matemática consiste nas representações dos objetos matemáticos, sendo formadas com base em situações empíricas. Como estas contêm apenas processos e grandezas finitas, é natural que a maioria das intuições no contexto infinito seja enganosa. Isso ocorre porque o primeiro juízo dado sobre uma idéia é baseado no que é conhecido e naquilo que já se tem experiência.

O mesmo poderá acontecer com alunos acostumados a efetuarem multiplicações entre números naturais. Assim, se S = 5 x 5 ou S = 25, a tendência do resultado desta operação, obviamente, é aumentar. Sendo assim, o resultado será maior que os números que se multiplicam. Contudo, ao solicitarmos que multipliquem números racionais ou decimais 0,5 x 0,5 = 0,25 verificamos que estes mesmos alunos esperam que o resultado continue aumentando, porém a resposta apresentada é um número menor do que as parcelas multiplicadas.

Baseando-se, então, no que foi mencionado por Fiorentini (1995), o pensamento intuitivo driblou os alunos.

De acordo com Machado (1993), Brower afirma que a matemática é pura, independente da linguagem especial (lógica) e do formalismo mesmo admitindo que ambos sejam meros acessórios resultantes de uma atividade autônoma. Desta forma, não admitia em hipótese alguma que um sistema axiomático fosse um instrumento utilizado com a finalidade de transmitir conhecimento. Portanto, o conhecimento matemático deveria girar em torno de atividades que conduzissem os alunos a fazerem suas próprias construções.

Cita Fiorentini (1995) que a crítica intuicionista com relação à Matemática tradicional, tão destrutiva e severa, obrigou os filósofos de outras correntes filosóficas, menos radicais, a desenvolverem métodos novos, na esperança de reabilitarem as teorias clássicas. Um bom exemplo disso é a corrente formalista, que progrediu grandemente motivada pelas polêmicas com o intuicionismo.

Segundo o autor acima, a concepção brouweriana quase torna impossível considerar a Matemática como ciência, pois insistia demasiadamente nos caracteres intuitivo e construtivo das indagações matemáticas, bem como no papel secundário da linguagem e do simbolismo em geral. Assim, o intuicionismo transforma essas indagações em atividades estritamente individuais. Levando-se a tese intuicionista ao pé da letra, chega-se à conclusão de que, surpreendentemente, cada pessoa tem sua própria Matemática.

De acordo com Soares (1995), a intuição é um ponto de partida para o acesso à realidade. No entanto, é desejável fazer uso do raciocínio dedutivo (da formalização), para fundamentar e complementar as conclusões de um pensamento intuitivo. Prova disso, é que muitas teorias, como por exemplo, a geometria euclidiana, tiveram seu ponto de partida em conceitos intuitivos.

Descartes, em O Discurso do Método, estabelece alguns preceitos metodológicos e dentre estes, afirma que, a intuição, unida ao método dedutivo, serve de critério universal para estabelecer ou não a evidência de um fato. Diz ele:

O primeiro (preceito) era de jamais receber alguma coisa por verdadeira se eu não a conhecesse evidentemente ser tal; isto é, de evitar cuidadosamente a precipitação e a prevenção, e de não compreender nada a mais em meus juízos do que se apresentasse tão clara e tão distintamente a meu espírito que eu não tivesse ocasião alguma de o pôr em dúvida (apud, SOARES, 1995, p. 66).

Na verdade, Descartes propõe o uso de um método, cujo mecanismo assegura o emprego adequado da razão, aliando duas importantes atividades intelectuais: a intuição e a dedução (SOARES, 1995).

Para Körner (1985) e Machado (1985) – apud Soares (1995), freqüentemente nos deparamos com o desejo de combinar as intenções intuicionistas, com a precisão formalista. No entanto, uma das conseqüências desta mútua interação é que a nítida divisão dos matemáticos e filósofos em logicistas, formalistas e intuicionistas, tende a perder muito do seu valor e tornar-se mais um artifício pedagógico.

Ainda, com relação ao pensamento de Soares (1995), é desejável estabelecer uma compreensão intuitiva dos conceitos antes de expor a definição formal destes. Com isso, possibilita-se ao aluno que deixe seu raciocínio fluir, completando-o com o raciocínio dedutivo. Desta forma, é possível dizer que as idéias intuitivas formam a etapa inicial do raciocínio. Isto posto, é fundamental estar atento para o fato de que, numa primeira etapa, as idéias intuitivas devem ser submetidas ao processo de formalização, que é o caminho para se decidir sobre o grau de veracidade da intuição, dentro do contexto em que ela é considerada.

Em síntese, é fundamental estabelecer e formular, juntamente com os princípios próprios da teoria à qual a intuição fornece de algum modo a matéria inicial, os princípios formais pelos quais será explorado esse fornecimento inicial. Desse modo, a formalização, mesmo parecendo apenas um jogo, enquanto age de acordo com determinadas regras, é um bom método para desvendar as instituições.

Enfim, em relação aos professores de Matemática, em sua maioria, estes alegam que tentam, mas que não sabem mais o que fazer. Eles dizem procurar atividades diferenciadas, porque não agüentam mais carregar tantos livros e, acreditam que desaprenderam dar aula, ou quem sabe, nunca souberam e acreditavam que sabiam.

Outros professores afirmam que também tentam, se dedicam sempre que podem, às vezes chegando a ficar até as 02h00 da manhã preparando atividades, na esperança de encontrar uma maneira de fazer seus alunos aprenderem. Contudo, todos os professores de Matemática, das conversas informais, alegam que falta alguma coisa nas aulas, que têm a impressão que elas estão sempre incompletas. Quem sabe seja porque no tempo em que se formaram não havia as informações que são disponibilizadas hoje.

De fato, em outros tempos de formação, esta era marcada pela extrema linearidade positivista, incutida a muito em nossa sociedade e impulsionada pelo método rigoroso de Descartes, desde o século XVI / XVII. Assim, resta-nos indagar como se pode “fugir” dessa linearidade, que se apresenta nas reuniões pedagógicas da escola, nos projetos interdisciplinares, nas atividades de aprendizagem e inclusive nos cursos de capacitação de professores (?).

É preciso saber casar a teoria, (que também se manifesta com falhas, desde o Projeto Político Pedagógico até a Proposta Curricular), com a tão sonhada prática pedagógica constituída de sólida fundamentação teórica alicerçada em pressupostos filosóficos coerentes de forma que não vise à educação como elemento de hierarquia social.

Quando um professor, certamente quer transcender sua prática pedagógica pela construção de um referencial teórico norteador de suas atividades escolares, lhe falta tempo disponível para percorrer calmamente uma reflexão continuada. A sociedade bloqueia o professor no caminho a ser percorrido em busca de sua profissionalização como intelectual, quase que o obrigando a ser um mero repassador de conteúdos e impedindo-o de participar do exercício da pesquisa.

Percebe-se, então, como a prática pedagógica enfadonha, ao lado de outros fatores, impede que a maioria dos professores, especialmente, os das escolas públicas adquiriram uma visão intensa e plena sobre os aspectos psico-pedagógico e culturais de seu trabalho.

4.1. A Aprendizagem da Matemática Numa Perspectiva Construtivista

Olhando-se pelo lado do construtivismo, a orientação que se dá para a Educação Matemática certamente depende de concepções sobre a natureza do conhecimento matemático (tomado aqui num sentido bem amplo) e de como acontece o desenvolvimento cognitivo do ser humano.

A Matemática, como área de conhecimento, apresenta duas características distintas:

- é ferramenta para o entendimento de problemas nas mais variadas áreas do conhecimento. Fórmulas, teoremas e, mais geralmente, teorias matemáticas são usados na resolução de problemas práticos e na explicação de fenômenos;

- é desenvolvimento de conceitos e teoremas que vão constituir uma estrutura matemáticas. O objetivo é a descoberta de regularidades e de invariantes, cuja evidência se estabelece pela demonstração baseada no raciocínio lógico e mediado tão somente pelos axiomas de fundamentação da estrutura e teoremas já destes deduzidos. É investigação no plano puramente matemático (GRAVINA & SANTAROSA, 1998, p. 3).

Em artigo no Mathematical Intelligencer, Chandler e Edwards fazem clara referência a estes dois aspectos:

Para os matemáticos, um perene problema é explicar ao grande público que a importância da Matemática vai além de sua aplicabilidade. É como explicar a alguém, que nunca ouviu música, a beleza de uma melodia...Que se aprenda a Matemática que resolve problemas práticos da vida, mas que não se pense que esta é a sua qualidade essencial. Existe uma grande tradição cultural a ser preservada e enriquecida, em cada geração. Que se tenha cuidado, ao educar, para que nenhuma geração torne-se surda as melodias que são a substância de nossa grande cultura matemática... (Apud GRAVINA e SANTAROSA, 1998, p. 5).

Na história do desenvolvimento da Matemática estas características estão em permanente relação. A partir de busca de solução de problemas em outras áreas de conhecimento, surge o desenvolvimento de Matemática de caráter puramente abstrato. E desenvolvimentos puramente teóricos, acabam apresentando-se como ferramentas para tratabilidade de problemas em outras áreas de conhecimento. A história da evolução da Geometria nos mostra bem este duplo aspecto da Matemática. Na antiguidade surge como ciência prática na solução de problemas de medidas; com os gregos torna-se conhecimento de caráter abstrato, tomando como ponto de partida axiomas indiscutíveis sob o ponto de vista intuitivo, inspirados que são pelo mundo físico; com as geometrias não-euclidianas, no século XIX, tem-se o caráter abstrato ao extremo, já que os axiomas aceitos não se baseiam mais na intuição imediata; e finalmente tem-se a aplicação destas geometrias no entendimento de problemas da física.

No processo educativo estes dois aspectos da Matemática devem ser enfatizados igualmente. Um dos grandes desafios para os educadores matemáticos é encontrar os caminhos que levem seus alunos a apropriarem-se deste conhecimento. E para isto, questões de ordem cognitiva merecem uma análise.

A teoria de desenvolvimento cognitivo proposta por Piaget (1982) ajuda a compreender que o pensamento matemático não é, em essência, diferente do pensamento humano mais geral, no sentido de que ambos requerem habilidades como intuição, senso comum, apreciação de regularidades, senso estético, representação, abstração e generalização, etc. A diferença que pode ser considerada é no universo de trabalho: na Matemática os objetos são de caráter abstrato e são rigorosos os critérios para o estabelecimento de verdades.

Os estudos de Piaget (1982) evidenciam já nos primeiros anos de vida os primórdios destas habilidades. Sua teoria procura explicar o complexo processo através do qual se dá o desenvolvimento das funções cognitivas da inteligência. Através de suas cuidadosas observações e entrevistas clínicas, ‘disseca’ os diversos estágios deste processo, mostrando a contínua evolução das estruturas mentais, e cujo estado mais avançado se caracteriza pelo pensamento formal abstrato.

Para melhor entendimento do processo evolutivo das estruturas cognitivas, Piaget (1974) destacada três estágios básicos. Na construção dos primeiros esquemas de natureza lógico-matemática as crianças se apóiam em ações sensório-motoras sobre objetos materiais e através de exercícios de repetição espontânea chegam ao domínio e generalização da ação (estágio pré-operatório). O segundo estágio caracteriza-se pelo aparecimento das operações, as ações em pensamento; mas nesta fase as crianças ainda dependem dos objetos concretos para que as ações se constituam em conceitos (estágio operatório concreto). E finalmente atingem o estágio das operações sobre objetos abstratos, já não dependendo mais de ações concretas ou de objetos concreto; é a constituição do pensamento puramente abstrato.

O que se deseja destacar é o quanto o processo de aprendizagem se baseia na ação do sujeito; inicialmente, as ações concretas sobre objetos concretos respondem pela constituição dos esquemas, e no último estágio, as ações abstratas (operações) sobre objetos abstratos respondem pela constituição dos conceitos. Afirma Piaget (1982, p. 35): “só falaríamos de aprendizagem na medida em que um resultado (conhecimento ou atuação) é adquirido em função da experiência, essa experiência podendo ser do tipo físico ou do tipo lógico-matemático ou os dois.”

Já no primeiro estágio de desenvolvimento, na construção e coordenação de esquemas evidencia-se o uso de regras muito próximas a da lógica - associação (união), generalização (inclusão), restrição (interseção). Percebe-se uma construção espontânea de estruturas lógico -matemáticas, que se aproximam das utilizadas no desenvolvimento do conhecimento matemático. É a gênese do pensamento lógico-matemático, que se apresenta na forma de generalização de ações e coordenação de esquemas.

É esclarecedor o que diz Piaget (1982), particularmente no contexto da Educação Matemática:

O papel inicial das ações e das experiências lógico matemáticas concretas é precisamente de preparação necessária para chegar-se ao desenvolvimento do espírito dedutivo, e isto por duas razões. A primeira é que as operações mentais ou intelectuais que intervém nestas deduções posteriores derivam justamente das ações: ações interiorizadas, e quando esta interiorização, junto com as coordenações que supõem, são suficientes, as experiências lógico matemáticas enquanto ações materiais resultam já inúteis e a dedução interior se bastará a si mesmo. A segunda razão é que a coordenação de ações e as experiências lógico matemáticas dão lugar, ao interiorizar-se , a um tipo particular de abstração que corresponde precisamente a abstração lógica e matemática. (PIAGET, 1982, p. 77).

Todo o processo é permeado pelo desenvolvimento, concomitante, da função representativa; é a representação mental que permite a transição da ação sensório-motora à ação abstrata. Os esquemas evoluem para conceitos e as ações para operações através da tomada de consciência, definida por Piaget (1982) como a reconstituição conceitual do que tem feito a ação. Becker (1997), a luz da teoria de Piaget, diz que é fácil vislumbrar o que isto significa para a aprendizagem. O esquema, generalização no plano da ação concreta, poderá mediante progressivas tomadas de consciência, tornar-se conceito, generalização no plano mental ou intelectual. “Dos limites do real passa-se ao possível” (BECKER, 1997, p. 91).

Os desequilíbrios entre experiência e estruturas mentais é que fazem o sujeito avançar no seu desenvolvimento cognitivo e conhecimento, e Piaget (1982) procura mostrar o quanto este processo é natural. O novo objeto de conhecimento é assimilado pelo sujeito através das estruturas já constituídas, sendo o objeto percebido de certa maneira; o ‘novo’ produz conflitos internos, que são superados pela acomodação das estruturas cognitivas, e o objeto passa a ser percebido de outra forma. Neste processo dialético é construído o conhecimento. O meio social tem papel fundamental na aceleração ou retardação deste desenvolvimento; isto se evidencia na decalagem de estruturas cognitivas que apresentam indivíduos que vivem em meios culturalmente pobres.

Na formação matemática dos alunos, além de se pretender a construção de uma sólida base de conhecimento na área, deve-se estar atento para a riqueza intelectual que decorre do constante desenvolvimento cognitivo do sujeito quando a ele propicia-se imersão no processo do ‘fazer matemática’, que nada mais é que o processo dinâmico - ‘assimilação versus acomodação’ de construção simultânea de conhecimento matemático e de estruturas mentais. Afinal,

axiomas, definições, teoremas e demonstrações devem ser incorporados como componentes ativos do processo de pensar. Eles devem ser inventados ou aprendidos, organizados, testados e usados ativamente pelos alunos. Entendimento do sentido de rigor no raciocínio dedutivo, o sentimento de coerência e consistência, a capacidade de pensar proposicionalmente, não são aquisições espontâneas. Na teoria piagetiana todas estas capacidades estão relacionadas com a idade - o estágio das operações formais. Esta capacidades não são mais do que potencialidades que somente um processo educativo é capaz de moldar e transformar em realidades mentais ativas (FISCHBEIN,1994, p. 103 apud BECKER, 1997, p. 93).

Se por um lado a teoria de Piaget (1982) mostra uma continuidade, em princípio natural, na formação das estruturas cognitivas, desde os primeiros esquemas até as estruturas que respondem pelo pensamento formal abstrato, por outro lado o processo de ensino e aprendizagem que se tem institucionalizado não leva em consideração esta ‘naturalidade’. A partir do momento que as crianças ingressam na escola, no geral, são privadas de suas ações e experiências de caráter concreto, e mais adiante de caráter abstrato, reforçando-se ao longo dos anos de vida escolar o papel de receptores passivos de informação. Esta ruptura pode explicar os baixos níveis de pensamento abstrato com que os alunos chegam ao ensino superior.

(...) os alunos chegam à universidade sem terem atingido os níveis mentais da dedução e do rigor. Raciocínio dedutivo, métodos e generalizações - processos característicos e fundamentais da Geometria - os alunos pouco dominam. Até mesmo apresentam pouca compreensão dos objetos geométricos, confundindo propriedades do desenho com propriedades do objeto (GRAVINA, 1996, p. 80).

Moore (1994) – apud Gravina e SantaRosa (1998), em sua pesquisa sobre obstáculos frente à demonstração de teoremas, identifica algumas causas: imagens mentais inadequadas, pouco entendimento dos conceitos, pouco domínio da linguagem e notação matemática.

Fala-se em processo de ensino e aprendizagem construtivista, entendendo-se uma metodologia de trabalho, ainda um tanto vaga e imprecisa, que procura colocar-se em sintonia, principalmente, com princípios da teoria de Piaget (1982). Mas de fato, não se tem ainda estabelecida, dentro das teorias da ducação, uma sólida base teórica do que seria uma ‘pedagogia construtivista’.

Pesquisas na área de Educação Matemática tem se preocupado com estas questões, mas ainda poucos são os reflexos na prática educativa. Estas pesquisas apontam para princípios norteadores do que seria uma ‘pedagogia construtivista’:

É necessário que o professor de matemática organize um trabalho estruturado através de atividades que propiciem o desenvolvimento de exploração informal e investigação reflexiva e que não privem os alunos nas suas iniciativas e controle da situação. O professor deve projetar desafios que estimulem o questionamento, a colocação de problemas e a busca de solução. Os alunos não se tornam ativos aprendizes por acaso, mas por desafios projetados e estruturados, que visem à exploração e investigação (MOORE, 1994, p. 93).

Um dos maiores problemas na educação decorre do fato que muitos professores consideram os conceitos matemáticos como objetos prontos, não percebendo que estes conceitos devem ser construídos pelos alunos. De alguma maneira os alunos devem vivenciar as mesmas dificuldades conceituais e superar os mesmos obstáculos epistemológicos encontrados pelos matemáticos. Solucionando problemas, discutindo conjeturas e métodos, tornando-se conscientes de suas concepções e dificuldades, os alunos fariam grandes e importantes mudanças em suas idéias (MOORE, 1994, p. 94).

Na educação a preocupação principal deveria ser a construção de esquemas para o entendimento de conceitos. O ensino deveria se dedicar a induzir os alunos a fazerem estas construções e ajudá-los ao longo do processo. Aprender envolve abstração reflexiva sobre os esquemas já existentes, para que novos esquemas se construam e favoreçam a construção de novos conceitos. Um esquema não se constrói quando há ausência de esquemas pré-requisitos (...) (MOORE, 1994, p. 112).

Para o estabelecimento de uma ‘pedagogia construtivista’ duas das principais questões, intimamente relacionadas, a serem enfocadas são:

- quanto ao aspecto matemático: é preciso saber como projetar atividades que façam com que os alunos se apropriem de idéias matemáticas profundas e significativas (e que exigiram de matemáticos altamente qualificados alguns anos para serem concebidas e estruturadas);

- quanto ao aspecto cognitivo: é preciso saber como fazer para que estas atividades coloquem os alunos em atitudes sintonizadas com os processos que são naturais ao desenvolvimento cognitivo do sujeito.

A seguir procura-se mostrar de que forma os ambientes informatizados podem ajudar na busca de respostas a estas questões. São ambientes que dão suporte aos objetos matemáticos e as ações mentais dos alunos, e que, portanto, favorecem os processos imbricados de construção de conhecimento matemático e de desenvolvimento de estruturas cognitivas. Além do mais, estão tão em evidência atualmente...

4.2. Ambientes Informatizados e a Aprendizagem da Matemática

Conforme mostrado no item anterior, está se tomando como princípio que a aprendizagem é um processo construtivo, que depende de modo fundamental das ações do sujeito e de suas reflexões sobre estas ações: “Todo conhecimento é ligado à ação e conhecer um objeto ou evento á assimilá-lo a um esquema de ação...Isto é verdade do mais elementar nível sensório motor ao mais elevado nível de operações lógico -matemático” (PIAGET,1982, p. 80).

No contexto da Matemática, são as ações, inicialmente sobre objetos concretos, que se generalizam em esquemas, e num estágio mais avançado são as ações sobre objetos abstratos que se generalizam em conceitos e teoremas. Quando a criança brinca com pedras, dispondo-as de diversas formas (segmentos de retas com diversas inclinações e tamanhos, círculos) e ao contar o número de pedras constata, com surpresa, que o número de pedras independe da forma em que estão dispostas, é através das ações concretas de ordenar e contar que constrói o conceito de número natural. Um matemático, em seu estágio avançado de pensamento formal, também ‘age’ sobre seus objetos de investigação: identifica, em casos particulares regularidades que se generalizam; testa suas conjeturas em novos casos particulares; e finalmente aventura-se na tentativa de demonstração.

Da criança ao matemático profissional, os objetos mudam de natureza: de físicos passam a abstratos, mas continuam guardando uma ‘concretude’, dada pela representação mental, figural ou simbólica, a eles associada, e é sobre estes objetos que são aplicadas as ações mentais. Neste sentido é interessante o que diz Ogborn (1997) – apud Gravina e Santarosa (1998), a luz da teoria de Piaget (1982), quando fala em “raciocínio formal como um caso especial e bastante extraordinário de raciocínio concreto. Matemáticos e lógicos estão tão acostumados com seus sistemas de símbolos, que os tratam como objetos concretos.”

No processo de ensino e aprendizagem, a transição na natureza dos objetos sobre os quais os alunos aplicam as ações é uma questão central. O mundo físico é rico em objetos concretos para o início da aprendizagem em Matemática, no geral de caráter espontâneo. Mas se o objetivo é a construção de conceitos mais complexos e abstratos, estes não têm suporte materializado, entrando em jogo a ‘concretização mental’, que nem sempre é simples, mesmo para o matemático profissional. Este tipo de aprendizagem nem sempre tem caráter espontâneo e exige muitas vezes a construção de conceitos que são até mesmo, num primeiro momento, pouco intuitivos, portanto, dependendo de muita ação mental por parte do aluno.

Os ambientes informatizados apresentam-se como ferramentas de grande potencial frente aos obstáculos inerentes ao processo de aprendizagem. É a possibilidade de "mudar os limites entre o concreto e o formal" (Papert, 1988). Ou ainda: “o computador permite criar um novo tipo de objeto - os objetos ‘concreto-abstratos’. Concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados; abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais.” Por exemplo, uma rotação não é mais somente um objeto matemático abstrato (dado por uma definição formal) acompanhado eventualmente de uma representação estática (desenho), mas um objeto que pode ser manipulado e entendido a partir de suas invarianças (ao mudar-se o centro de rotação, o ângulo de rotação, ao transformar figuras).

No campo da pesquisa em Matemática alguns exemplos são ilustrativos. A teoria do caos nasceu do estudo de equações diferenciais feito por Lorentz; ao programar sistemas que diferenciavam minimamente nas condições iniciais, Lorentz constatou que a evolução do sistema, no tempo, se tornava imprevisível e a partir disto surgem os resultados teóricos sobre a instabilidade dos sistemas dinâmicos. Um segundo exemplo: a representação gráfica de computações massivas tornou possível o avanço da teoria de fractais. Figuras surpreendentes foram fontes de conjeturas que desencadearam a pesquisa na direção de demonstrações formais. Estes exemplos são paradigmáticos quanto ao suporte oferecido pelos ambientes informatizados na concretização mental de idéias matemáticas. Este suporte favorece a exploração, a elaboração de conjeturas e o refinamento destas, e a gradativa construção de uma teoria matemática formalizada.

E mesmo quando existe a possibilidade de ações sobre objetos físicos, a transposição destes objetos para ambientes informatizados também apresenta vantagens: é a possibilidade de realizar grande variedade de experimentos em pouco tempo, diferentemente da manipulação concreta. É a primazia da ação favorecendo o processo de investigação e abstração, com a conseqüente construção de conceitos e relações.

É claro que o suporte para concretizações e ações mentais depende de características dos ambientes informatizados.

Enfim, concluindo este capítulo, não se pode deixar de citar o primeiro Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM), realizado no Brasil em novembro de 2000, sobre formação de professores que ensinam Matemática para o Ensino Infantil e Fundamental I.

As dissertações e teses mais recentes investigam os processos de trabalho colaborativo e coletivo, como uma alternativa de forma continuada e de desenvolvimento profissional de professores de Matemática. Tais estudos buscam acompanhar e investigar o processo de formação vivenciado por grupos que trabalham dessa forma (FERREIRA et ali, 2000 – apud PEREIRA, 2003).

A essência desses trabalhos centra-se na necessidade de se perceber os docentes como companheiros de um processo coletivo de construção de conhecimento, no qual partilham responsabilidades e encaminhamentos do projeto desenvolvido.

Nessa linha, as pesquisas realizadas com educadores matemáticos que atuam nas séries iniciais do Ensino Fundamental ainda constituem um universo pequeno, especialmente ao centrarem foco no conhecimento profissional relativo a conteúdos matemáticos.

Em todos os estudos houve uma reflexão teórica sobre os aspectos que constituíram as categorias de análise, a fim de que se possa perceber e acompanhar como se deu o processo analítico desta pesquisa empírica.

Contudo, ficou claro que é necessário pensar uma Matemática escolar que propicie cada vez mais a investigação, a reflexão e a criatividade, rompendo com o determinismo que predomina nos currículos dessa disciplina e, mais propriamente, com o pensamento determinista, inibidor da idéia de movimento e transformação. A Educação Matemática deve permitir à criança acesso ao conhecimento matemático já produzido e possibilitar o desenvolvimento de potencialidades para que ela apreenda o modo de resolver problemas, pois esse seria o momento em que o conhecimento está se fazendo.

Acredita-se que se esse enfoque for dado, desde a Educação infantil, é possível possibilitar a formação de um aluno que pense mais amplamente a respeito de diferentes questões e estabeleça, adequadamente, estratégias e técnicas para a resolução de problemas que permeiam sua vida.

Dessa forma, a Matemática tem-se justificado pela necessidade das próprias crianças de construírem e recriarem conhecimentos, desenvolverem a imaginação e a criatividade, bem como, por uma exigência social de instrumentalizá-las para a vida no mundo. Cada vez mais e mais rapidamente têm-se solicitado diferenciadas habilidades e competências Matemáticas dos cidadãos. Nesse sentido, se acredita que o desenvolvimento do pensamento estatístico e probabilístico, que deve ser inserido no contexto escolar, possa apresentar significativas contribuições para a formação desde a infância. A realização de experimentos que envolvem aleatoriedade e estimativas, assim como a vivência de coletar, representar e analisar dados que sejam significativos e inseridos em seu contexto podem ampliar o universo de competências e acentuar o potencial criativo dos estudantes brasileiros.

Os PCNs (Parâmetros Curriculares Nacional) do Ensino Fundamental consideram que as crianças têm e podem ter várias experiências com o universo matemático que lhes permite fazer descobertas, tecer relações, ir organizando o pensamento, o raciocínio lógico e situando-se no espaço. Ressaltam-se os critérios: identificar as noções que as crianças possuem, selecionar os conteúdos e viabilizar as ações em sala de aula.

Além dessas considerações, é preciso ressaltar para um trabalho que desenvolva o raciocínio estocástico. Considera-se que a resolução de problemas aliada à realização de experimentos pode desencadear, nesse nível de ensino, o desenvolvimento do pensamento estocástico, necessário ao aluno por possibilitar-lhe a capacidade de análise critica e subsídios para a tomada de decisões, face às incertezas da vida cotidiana.

5. AVALIAÇÃO NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: CONCEITOS E PROGRAMAS

Acredita-se que para avaliar um aluno em suas atitudes dentro da aprendizagem escolar, o professor precisa: primeiro saber o que deseja com tal avaliação, e segundo saber conectar esse objetivo aos princípios que a sociedade valoriza e cultua.

O que o professor deseja em uma avaliação depende em boa parte da ética que perpassa as ações educativas e a própria cultura da instituição. O que é valorizado pela equipe de professores passa a ser a ancora na forma de avaliar o aluno, ou de camuflar esta avaliação.

No caso, por exemplo, de escolas que não se preocupam com compromissos coletivos, como diz Boutinet (1990), o sujeito sofrerá as conseqüências de avaliações pautadas exclusivamente na ética do professor ou grupo de professores. A questão que se coloca nestes casos é saber como isso repercute no aluno, pois fatalmente ele não concorda com tal avaliação.

Conforme Pereira (2003) talvez esteja aí uma das questões da indisciplina, não simplesmente pela leitura equivocada ou antidemocrática de um professor, mas pela falta de montanhas para ecoar. “O que não ecoa, se perde no vácuo, na ausência. Ausência da equipe, do outro, do ponto de referência que equilibra a leitura e direciona o olhar do educando e do educador. Na sua dor de saber o outro, seu aluno” (PEREIRA, 2003, p. 71).

Acredita-se ser complexo analisar-se o caráter da avaliação das atitudes na aprendizagem, pois não é fácil saber que atitudes avaliar, nem o que é valorizado pela instituição que guia a avaliação de atitudes na aprendizagem. Em Matemática não pode ser diferente, pois isto vale para qualquer disciplina.

Olhando para a função da escola, pode-se afirmar que as atitudes a serem avaliadas deveriam ser aquelas estreitamente vinculadas à aprendizagem e, com isso, se descartariam aquelas listas enormes, para focar o olhar no que realmente é essencial. Nesse caso, é preciso exaltar os projetos escolares que definem os rumos tanto do que ensinar, quanto do que avaliar.

Imaginando-se que em uma escola pública, em qualquer lugar desse país, as noções básicas de Português e Matemática sejam o seu projeto principal, e que a escola queira fazer parcerias com a comunidade local para conseguir atingir suas metas, certamente, surgirá a necessidade de se valorizar novas atitudes, como: o respeito à comunidade, a valorização do saber dos adultos, o respeito àqueles que não lêem e não sabem fazer contas elementares, a valorização e o resgate da cultura das pessoas daquela região, entre tantos outros.

Tais atitudes não se encaixariam num projeto de instituição fechado e restrito, restando, portanto, àquelas atitudes básicas: levantar a mão, ouvir o colega, expor suas idéias. Nesse caso, elas seriam mais que atitudes, condições básicas que naturalmente acontecem nos diversos âmbitos de vivência de qualquer cidadão.

Ensinar e avaliar atitudes na aprendizagem, então, entende-se como algo que exige maior reflexão por se tratar de questões voltadas ao campo da ética e, portanto, dos valores, o que as tornam mais profundas e abrangentes que um simples levantar a mão para falar. As crenças, os valores, as expectativas, o modo de agir, a impressão a respeito de si próprio, enfim, a própria identidade como indivíduos está condicionada à cultura na qual todos foram imersos desde o nascer.

O ensino e a avaliação de atitudes na aprendizagem pode ser uma forma de ampliar a própria condição de indivíduos, propiciando a reflexão sobre valores morais que permeiam a própria vida. Este diálogo não está restrito somente ao âmbito escolar, outras instituições influenciam e são influenciadas pelas atitudes que os cidadãos exercem socialmente. A escola pode ser um local aberto para discussão dos conteúdos desses valores. Todos vivem muito pautados, por exemplo, em proibições (não matarás, não roubarás) talvez pudessem ser guiados por afirmações, como: respeite a vida ou respeite o que é do outro; ou ensine o que é prático, aquilo que o indivíduo possa usar para exercer sua cidadania.

Com isso, deseja-se ilustrar que as formas de educar, tanto na escola, como na sociedade de modo geral, acabam apresentando valores pelos quais se pautam as atitudes ensinadas e avaliadas. Esta discussão sobre que atitudes e o que avaliar requer então muitas outras reflexões, além do olhar para a cultura na qual a escola está inserida. Afinal, ao se avaliar se seleciona o que será valorizado (PEREIRA, 2003).

Longe de tudo isso, percebe-se a escola discutindo como marcar sua insatisfação com determinadas atitudes, pensando se atribui ou não notas, informando ou compartilhando suas leituras sobre a atitude do outro. Cabe pensar sobre quais são as contribuições de tais ações. Parece que ao tomar a avaliação de atitudes na aprendizagem como algo realmente importante tem-se diante de si a necessidade de inúmeras reflexões sobre ética, valores, democracia, enfim sobre os pilares da sociedade. Torna-se difícil avaliar atitudes na aprendizagem sem discutir estas questões.

A avaliação de atitudes na aprendizagem aponta para novas reflexões da escola, seu papel e sua influência na formação do cidadão. Como se estivesse dizendo não basta listar as atitudes é preciso saber aonde se quer chegar, quais são as possibilidades, quais são as limitações e quais são as parcerias necessárias. Requer refletir sobre o papel da escola hoje e no seu local de atuação específico.

Não refletir sobre que atitudes avaliar pode impedir o andamento do projeto deixando de impulsionar mudanças substanciais nas aprendizagens, tanto dos alunos, como dos professores.

Quanto ao âmbito da sala de aula, se torna evidente que o professor precisará analisar o quanto sua classe se aproxima dos alvos da instituição para mapear quais serão seus marcos de aprendizagem, ou melhor, quais são as atitudes a valorizar com seus alunos.

Neste sentido, conhecer o aluno, sua cultura, é fundamental neste processo de levantamento das atitudes a avaliar. Conhecer para não colocar na forma, não moldar com base em sua visão restrita de homem e de cidadão. Conhecer para atender às necessidades, que na soma dos individuais formará o coletivo específico daquele grupo.

As fichas para diagnóstico, portanto, devem conter os dois lados, os avanços e as necessidades, para se ter clareza de onde se quer chegar. Apenas acusar a falta, torna o planejamento capenga, pois não haverá indícios de por onde caminhar. O diagnóstico deve ser uma bússola que aponta o caminho mais próximo e ao mesmo tempo fornece dados para rotas alternativas. As atitudes ensinadas neste percurso são aquelas coerentes com a forma de ensinar, diagnosticar e planejar.

Partindo de um projeto de instituição conhecido pelos alunos, parece que estará claro o que se espera deles, mas é preciso criar formas de compartilhar com os alunos estes alvos e metas. Neste sentido os alunos podem contribuir à medida que compartilham estes alvos, na medida em que vê uma função clara nesta avaliação, se vê como o centro do processo ensino e aprendizagem. A confiança, tão presente nos relatos da equipe aparece aqui como algo imprescindível na avaliação de atitudes na aprendizagem. Cumplicidade, vínculo, confiança, responsabilidade pelas decisões, afetividade, avaliação de atitudes, meios para a aprendizagem das atitudes.

A avaliação de atitudes na aprendizagem implica discussões amplas sobre a função da escola e perpassa também questões da prática, mas de modo algum, pode fugir a reflexão sobre a cultura para a qual, e na qual, o processo educativo ocorre. Já na avaliação formativa, conforme reforçou Pereira (2003), nas tentativas de definição os professores se esbarram com uma questão que marca efetivamente ações que estão a serviço deles. Ou seja, ainda não sabem como fazer da regulação contínua das aprendizagens a lógica prioritária da escola. Defini-la poderia ser visto como a tarefa de buscar uma concepção mais coerente e mais científica, porém, não é tarefa fácil. Prescrever ações que a mapeiem, menos ainda. É preciso analisar o que é possível, então.

Esse diagnóstico assemelhasse aquele que todo agricultor realiza, ou seja, é preciso conhecer primeiro o terreno que se irá semear (escola e alunos a serem avaliados), a época certa do plantio (o momento exato de se fazer a avaliação), o período das chuvas, das secas, das estiagens (o tempo e o espaço em que cabe tal avaliação). No demais é dedicação constante e paciência, pois se o professor, se a escola desistir, não verão o fruto de seu trabalho florescer.

É importante lembrar também que, ao avaliar o produto conquistado a partir desses encaminhamentos, o professor deve refletir e pensar sobre o que foi adequado, o que precisa ser mudado e replanejar a sua ação. Assim: “apesar de a avaliação ser uma exigência institucional, o modo de realizá-la e seu conteúdo ficam totalmente nas mãos do professor” (SACRISTÁN, 2000, p. 39). No entanto, o professor não tem consciência de que mesmo em um âmbito fechado, como a escola, ele pode ter autonomia e tem para tomar decisões como as descritas anteriormente e até mesmo pensar sobre o que é que vale nota, o que é essencial, quando avaliar e outros.

Acredita-se que o uso que se fará da avaliação e do planejamento, e as relações que se possa estabelecer entre os dois estarão sempre fortemente ligados à formação do professor e a concepção de ensino–aprendizagem, que o professor deve sondar para conhecer o seu aluno–professor e auxiliá-lo. Só dá para pensar nesse tipo de plano quando se tem o modelo de avaliação formativa.

5.1. O Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp)

A partir de 1996, tem sido possível obter um retrato das escolas paulistas, graças ao Saresp. Desde então, o Saresp aplica, anualmente, provas aos estudantes de São Paulo. Nesse processo, envolve diretores, professores, pais, outros educadores e a população em geral em uma reflexão sobre o ensino que é oferecido nas escolas paulistas e na busca de alternativas para aprimorá-lo¹¹.

Até o momento, o Saresp já realizou dez avaliações do sistema de ensino do Estado de São Paulo, com a participação maciça da rede pública estadual. Além disso, foram registradas participações expressivas, em alguns desses anos, de redes municipais e, em menor grau, de escolas particulares. O esquema a seguir apresenta o desenho do Saresp ao longo das suas edições.

Fonte: Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, 2009

De 1996 a 1998: avaliação de entrada (aplicada no início do ano, avaliando as séries anteriores); nos demais anos: avaliação de saída (aplicada no final do ano).

Para se ter uma idéia da dimensão e da abrangência desse Sistema, basta mencionar que, em sua penúltima edição, em 2005, o Saresp avaliou em torno de cinco milhões de alunos, de mais de sete mil escolas estaduais, municipais e particulares.

O Saresp consiste em uma avaliação externa do desempenho dos alunos do Ensino Fundamental (EF) e do Ensino Médio (EM) do Estado de São Paulo. Ao tornar públicos aspectos importantes do processo educativo desenvolvido nas escolas, subsidia a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (SEE) nas tomadas de decisão quanto às políticas públicas voltadas à melhoria da educação paulista.

Neste sentido, ele se propõe a verificar o rendimento escolar dos estudantes e a identificar fatores nele intervenientes, fornecendo informações relevantes ao sistema de ensino, às equipes técnico-pedagógicas das Diretorias de Ensino (DEs) e às escolas. Desse modo, o Saresp contribui para racionalizar a máquina administrativa com o intuito de fortalecer a autonomia das DEs e das escolas e aumentar a eficiência dos serviços educacionais em São Paulo.

Com as informações fornecidas, o Saresp subsidia a gestão educacional, os programas de formação continuada do magistério, o planejamento escolar e o estabelecimento de metas para o projeto de cada escola, na medida em que fornece a cada uma delas informações específicas sobre o desempenho de seus próprios alunos, apontando ganhos e dificuldades, bem como os aspectos curriculares que exigem maior atenção.

Entre os objetivos do Saresp incluem-se também: o estabelecimento, nas diferentes instâncias da SEE, de competência institucional na área de avaliação; a criação e a manutenção de um fluxo de informações entre a SEE, as demais redes de ensino e as unidades escolares; e o fortalecimento de uma cultura avaliativa externa renovada no Estado de São Paulo.

Em 2009, na próxima avaliação, contará com:

- a utilização de uma metodologia de comparação dos resultados obtidos no Saresp em 2005 e 2007 e entre estes e os resultados dos sistemas nacionais de avaliação (SAEB e Prova Brasil), comparação esta possibilitada pela aplicação de instrumentos denominados provas de ligação;

- a apresentação dos resultados do Saresp, em Língua Portuguesa e Matemática, na mesma escala de desempenho utilizada pelo Saeb;

- a atuação de professores da rede estadual na aplicação das provas, mas em escolas em que não lecionam (à exceção da 1a. e 2a. séries do EF), para garantir maior credibilidade aos resultados;

- a presença de observadores externos à escola para verificar a uniformidade dos padrões utilizados na aplicação;

- a aplicação de questionários que permitirão uma caracterização de fatores intra e extra-escolares associados ao desempenho escolar. Serão coletadas, por meio de questionários elaborados com este objetivo, informações sobre os perfis dos alunos e dos responsáveis pela gestão escolar (diretor, professor-coordenador e professores das séries e disciplinas avaliadas);

- o uso dos resultados no planejamento pedagógico das escolas em fevereiro de 2008; e

- o uso dos resultados como um dos critérios de acompanhamento das metas a serem atingidas pelas escolas.

Participaram da última avaliação 91 DEs do Estado de São Paulo, sendo 28 pertencentes à COGSP - Coordenadoria de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo e 63 vinculadas à CEI - Coordenadoria de Ensino do Interior. Foram envolvidas todas as escolas estaduais (urbanas e rurais), nos períodos da manhã, tarde e noite.

No que diz respeito ao EF, participaram alunos de classes regulares, de aceleração, de recuperação de Ciclo e de flexibilização. No EM, participaram os alunos das classes regulares de 3a. série.

Participaram da avaliação 1.858.077 alunos da Escola Fundamental e Ensino Médio de 5.207 escolas da rede pública estadual de ensino. A SEE definiu as datas para aplicação do Saresp 2009. As provas acontecerão nos dias 10, 11 e 12 de novembro. Os resultados do exame implicam diretamente no Idesp, índice estipulado para cada escola do governo do Estado que calcula o bônus dos professores da rede.

A novidade deste ano é que o Saresp terá a participação de alunos das redes municipais e privadas de ensino, em maior escala que das vezes anteriores. A avaliação é aplicada aos alunos das 2ª, 4ª, 6ª e 8ª do Ensino Fundamental, em escolas com ciclo de oito anos, e estudantes do 3º ano do Ensino Médio. Para as unidades que já implantaram o regime de nove anos no Ensino Fundamental, o exame é destinado aos matriculados nos 3º, 5º,7º e 9º anos.

Escolas municipais e particulares de todo o Estado também podem participar do Saresp, por adesão, permitindo uma avaliação integrada, que possibilita comparação dos resultados entre as três redes de ensino. As unidades municipais que aderirem à avaliação terão os custos pagos pelo Estado.

Desta vez, as disciplinas avaliadas no Saresp serão Língua Portuguesa, Matemática e Ciências Humanas, além de Redação. A aplicação das disciplinas acontecerá de acordo com a série (veja quadro abaixo). Só na rede estadual, o Saresp deve atingir 2 milhões de alunos em mais de 5.300 escolas.

Para participar do Saresp as escolas municipais e particulares devem preencher os documentos de adesão que já estão disponibilizados no site da Secretaria (www.educacao.sp.gov.br), desde a segunda quinzena de maio. O prazo para adesão termina em 31 de junho.

5.2. O Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb)

O Saeb, desenvolvido desde 1990 pelo MEC, por intermédio do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), é uma avaliação externa, em âmbito nacional, que objetiva conhecer mais profundamente nosso sistema educacional. Trata-se de uma avaliação diagnóstica que visa contribuir para a universalização do acesso e para a qualidade, eqüidade e eficiência da educação brasileira, oferecendo subsídios concretos para a formulação, reformulação e monitoramento de políticas públicas.

A cada dois anos, o Saeb realiza exames de proficiência, que permitem avaliar a qualidade da educação no país ao longo dos anos. Procura, também, conhecer as condições internas e externas que interferem no processo de ensino e aprendizagem na Educação Básica. Para tanto, aplica questionários respondidos por alunos, professores e diretores, e coleta informações sobre as condições físicas das escolas e sobre os recursos de que elas dispõem.

O Sistema visa mostrar aos agentes educacionais e à sociedade os resultados dos processos de ensino e as condições em que são desenvolvidos, além de procurar consolidar uma cultura de avaliação externa nas redes e instituições de ensino.

As informações obtidas a partir dos levantamentos do Saeb também permitem acompanhar a evolução da qualidade da Educação ao longo dos anos, sendo utilizadas principalmente pelo MEC e pelas Secretarias Estaduais e Municipais de Educação na definição de ações voltadas para a solução dos problemas identificados, assim como no direcionamento dos seus recursos técnicos e financeiros às áreas prioritárias, com vistas ao desenvolvimento do Sistema Educacional Brasileiro e à redução das desigualdades nele existentes.

O Saeb avalia os alunos de 4a. e 8a. séries do Ensino Fundamental (EF) e da 3a. série do Ensino Médio (EM) das redes públicas de ensino (estaduais, municipais e federais). Embora tenha avaliado diversos componentes curriculares desde o seu início, a partir de 2001 passou a avaliar apenas Língua Portuguesa e Matemática.

Em março de 2005, o Saeb foi desdobrado e passou a ser composto por dois processos: a Aneb - Avaliação Nacional da Educação Básica e a Anresc - Avaliação Nacional do Rendimento Escolar.

A Aneb é realizada de dois em dois anos por amostragem das redes de ensino, em cada unidade da Federação, e tem por foco os sistemas educacionais. Por manter as mesmas características do Saeb em suas edições anteriores, recebe o nome Saeb em suas divulgações. A avaliação aplicada em 2007, como na edição de 2005, teve provas que mediram o conhecimento dos alunos em Língua Portuguesa e Matemática, além de contar com um questionário sobre o contexto social, econômico e cultural dos avaliados.

A Anresc é mais extensa e detalhada que a Aneb e tem por foco cada unidade escolar, ou seja, é aplicada a todos os alunos da 4a. e 8a. séries do EF das escolas públicas com no mínimo 20 alunos na série avaliada. Por seu caráter universal, recebe o nome de Prova Brasil em suas divulgações.

5.3. O Sistema de Avaliação Prova São Paulo

A Prova São Paulo, avaliação aplicada pela primeira vez em 2007 pela Prefeitura do Município de São Paulo, utiliza procedimentos metodológicos formais e científicos para coletar e sistematizar dados e produzir informações sobre o desempenho dos alunos ao término do 2º e 4º anos dos Ciclos I e II do Ensino Fundamental (o equivalente à 2a., 4a., 6a. e 8a. séries), em todas as áreas curriculares, alternando ano a ano a periodicidade das áreas.

O ciclo de avaliação foi iniciado em 2007, com avaliações nas áreas de Matemática e Língua Portuguesa.

O processo também realiza a coleta de dados e informações sobre as condições intra e extra-escolares que afetam o ensino e interferem na aprendizagem, a partir da aplicação de questionários aos alunos, professores, diretores, coordenadores, supervisores e escolas.

As provas são estruturadas com base nas Matrizes de Referência para a Avaliação - definidas no projeto desenvolvido pela Prefeitura Municipal com participação de professores da Rede Municipal - e aplicadas aos alunos, em dois dias, sendo um para cada área (Português e Matemática).

Para cada ano/ciclo, as provas são formatadas com cerca de 40 itens de Língua Portuguesa e 40 de Matemática. Os exames são estruturados com itens de resposta construída pelos alunos e itens de múltipla escolha.

Em Língua Portuguesa, todos os alunos fazem também uma redação, além de responderem a itens "abertos", em que não são oferecidas alternativas. Dessa maneira, é possível verificar características da produção de textos e de estruturas próprias dos níveis de leitura dos alunos.

Já em Matemática, nos itens de resposta construída pelos alunos, podem ser verificadas as diferentes estruturas de pensamento lógico que não estariam visíveis em questões de múltipla escolha, nas quais se obtém apenas o resultado final das contas e das operações lógicas.

Nas provas do 4º ano dos Ciclos I e II (4a. e 8a. séries) são incluídos blocos de itens equiparáveis aos do Saeb, para que os resultados possam ter comparabilidade nacional.

Com cerca de 40 itens de prova para cada aluno responder, é possível estimar a proficiência individual com graus mais seguros de precisão e, assim, emitir também um boletim individual de resultados.

Os questionários com o levantamento dos dados socioeconômicos dos alunos são respondidos com apoio de suas famílias, em casa, em data anterior às provas.

As provas são aplicadas pelos professores da Rede Municipal, devidamente treinados, com supervisão de monitores externos para garantia de uniformidade de padrões e da idoneidade na aplicação.

Cada aluno recebe um boletim individual com os seus resultados e a indicação das competências que demonstrou ter desenvolvido. Além das escalas de proficiência, são elaborados e enviados a cada escola e coordenadoria os relatórios pedagógicos com a interpretação dos resultados e a identificação dos desafios a serem enfrentados para elevar o desempenho dos alunos em pontos específicos do currículo, de acordo com os referenciais estabelecidos para a avaliação.

Enfim, A essência dos Sistemas de Avaliação desenvolvidos no Brasil é, basicamente, o de permitir a produção de um retrato de como está a qualidade da Educação em determinado momento para que, a partir da análise desta imagem, seja possível construir diagnósticos e projetar soluções que possibilitem melhorar a qualidade do ensino.

Dessa forma, a Avaliação serve como instrumento para medir o desempenho e, a partir disto, permitir a formação de um juízo de valor sobre o que foi observado nessa medição. Tendo esses elementos à mão, fica possível estabelecer as competências a serem desenvolvidas e aperfeiçoadas com o intuito de corrigir e calibrar ações destinadas à melhoria da qualidade de ensino.

A década de 1990 marcou o momento inicial de implantação dos Sistemas de Avaliação que hoje se consolidaram e são importantes ferramentas na definição das políticas educacionais públicas do Brasil. Além dos Sistemas de Avaliação nacionais (como o Saeb, Prova Brasil e Enem), as administrações estaduais e municipais também têm realizado seus próprios Sistemas, como é o caso, por exemplo, do Saresp no Estado de São Paulo.

Com tais instrumentos, é possível conhecer melhor em que patamar de aprendizagem situam-se nossas crianças e jovens nos diversos níveis educacionais. A análise dos resultados permite aos gestores da Educação definir projetos e programas que buscam enfrentar e superar os eventuais problemas detectados nas Avaliações.

A principal finalidade dos Sistemas de Avaliação é servir como referência do aproveitamento educacional dos estudantes avaliados. A partir dos resultados e das comparações ano a ano, é possível traçar um diagnóstico da situação e da evolução do ensino oferecido, apurando-se, assim, eventuais eficiências ou deficiências e os problemas a serem enfrentados com a adoção de novas soluções, investimentos, capacitações de profissionais e abordagens nos campos pedagógico, administrativo, estrutural e organizacional.

A partir desse tipo de abordagem dos resultados de uma Avaliação, é possível elaborar soluções que passam pelas políticas públicas nacionais e locais, pelas adequações necessárias regionalmente ou localmente e por intervenções pontuais em problemas que venham a ser identificados em pequenos ambientes, como uma única unidade escolar, uma sala de aula ou, mesmo, um único aluno.

A Avaliação, portanto, é um instrumento de base que permite a formulação de soluções para a adoção de medidas efetivamente destinadas à melhoria do ensino.

Tais desafios não são desprezíveis, afinal, o Brasil contava em 2006 com mais de 42 milhões de crianças e adolescentes apenas nas escolas de Ensino Fundamental e Médio em todo o território nacional, segundo o Censo Escolar produzido pelo INEP.

É evidente que nem sempre uma solução boa para uma escola é adequada para outra. Mas até para se perceber esta característica é possível contar com os resultados dos Sistemas de Avaliação aplicados em nosso país, já que se preocupam, também, em conhecer melhor o perfil social, econômico e educacional de alunos, professores e gestores.

Assim, a partir da análise aprofundada dos resultados das avaliações, é possível repensar práticas para a reorientação de políticas públicas e ações locais na área educacional, sempre com os olhos voltados ao fortalecimento de trajetórias de aprendizagem bem-sucedidas.

Os principais Sistemas de Avaliação Externa adotados em nosso país (como o Saresp e a Prova Brasil) valem-se da universalização da análise, isto é, todos os alunos são submetidos a Avaliação. Isso acontece pelo fato de que, em experiências anteriores, constatou-se que Avaliações aplicadas a apenas uma parte dos estudantes, por amostragem, acabavam não refletindo o amplo universo de realidades existentes nas salas de aula espalhadas por nosso país.

Também os principais Sistemas tendem a focar especificamente duas áreas: a Língua Portuguesa e a Matemática, consideradas básicas para a compreensão e aprendizagem de todas as demais disciplinas.

Com pequenas diferenças de formato entre os diversos Sistemas, e também entre os variados níveis de ensino avaliados, as provas aplicadas às crianças e adolescentes buscam medir não só o conhecimento acumulado, mas, principalmente, a capacidade que demonstram em raciocinar, resolver problemas e elaborar formulações abstratas a partir daquilo que sabem. Por esta razão, os exames mesclam questões de múltipla escolha com itens abertos, para desenvolvimento dissertativo, além de aplicarem redações.

As capacidades avaliadas são adequadas aos conteúdos ou currículos oferecidos aos estudantes, já que não há razão de se avaliar aquilo que sabidamente não foi repassado às crianças e jovens.

As provas são aplicadas na própria escola onde os alunos estudam e contam com a colaboração de professores, gestores e educadores das redes de ensino em sua aplicação.

A aplicação do Saresp, em agosto de 2007 pelo Governo do Estado de São Paulo, por intermédio da SEE teve o intuito de melhorar o ensino público estadual. A Agenda estabeleceu 10 metas a serem atingidas até 2010:

1. Todos os alunos de 8 anos plenamente alfabetizados;

2. Redução de 50% das taxas de reprovação da 8a série;

3. Redução de 50% das taxas de reprovação do EM;

4. Implantação de programas de recuperação de aprendizagem nas séries finais de todos os Ciclos de aprendizagem (2a, 4a, 6a. e 8a. séries do EF) e na 3a. série do EM;

5. Aumento de 10% nos índices de desempenho do EF e do EM nas avaliações nacionais e estaduais;

6. Atendimento de 100% da demanda de jovens e adultos de EM com oferta diversificada de currículo profissionalizante;

7. Implantação do EF estruturado em nove anos em regime de colaboração com os municípios, com prioridade à municipalização das séries iniciais (1a a 4a séries);

8. Implementação de programas de formação continuada e capacitação de professores, supervisores, diretores, educadores, gestores e dirigentes, incluindo utilização da estrutura de tecnologia da informação e da Rede do Saber para tal finalidade;

9. Descentralização e/ou municipalização do programa de alimentação escolar nos municípios ainda centralizados; e

10. Programa de obras e melhoria da infra-estrutura física das escolas.

Os resultados do Saresp estão sendo utilizados também como referência ao Programa de Incentivo à Boa Gestão na Escola, que prevê o estabelecimento de metas de melhoria da qualidade do ensino por unidade escolar. O cumprimento das metas representam para as escolas incentivos na remuneração de toda a equipe escolar, o não cumprimento terão apoio total e especial para a melhoraria do ensino.

6. A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA NAS ORGANIZAÇÕES NA ERA DA TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO: O SETOR BANCÁRIO EM EVIDÊNCIA

Nos dias atuais, a qualidade é imprescindível em todos os setores de trabalho, portanto, no setor bancário não é diferente. Cada vez mais as organizações bancárias procuram satisfazer as necessidades de seus clientes, através, principalmente, do desenvolvimento dos recursos da informática. Contudo, muitos bancos se preocupam muito pouco com o aspecto humano do serviço prestado e, por não oferecerem um nível desejável de qualidade de vida no trabalho para seus funcionários, acabam por perder na qualidade do serviço prestado por eles aos seus clientes.

Devido a isso, há muitas pesquisas realizadas com a finalidade de se tomar conhecimento das expectativas dos funcionários e clientes, no que diz respeito à qualidade de vida no trabalho e à qualidade do serviço prestado. Nesse sentido, se destaca a Ergonomia¹², pois ela tem permitido a melhoria das condições de trabalho, a partir da análise das atividades desenvolvidas pelos funcionários na realização de suas tarefas em vários tipos de organizações, especialmente no setor bancário, onde costuma haver muitas reclamações.

A avaliação da qualidade percebida pelos clientes proporciona meios de melhoria para a qualidade oferecida pela organização bancária, desde que ela seja definida não conforme seus administradores a encaram, mas como seus clientes a desejam. Contudo, para se realizar uma avaliação da qualidade de vida no trabalho dos funcionários de agências bancárias, por exemplo, bem como da qualidade do serviço prestado por esses bancos, a partir da percepção de seus clientes, torna-se necessário verificar qual é a metodologia de avaliação da qualidade que deve ser utilizada por todo o setor bancário.

Assim, para saber se os funcionários estão satisfeitos nos seus cargos, se estão sendo bem tratados pelos administradores do banco, para poderem apresentar um serviço de qualidade aos clientes do banco, é preciso saber se eles têm seus direitos reconhecidos e medir o comportamento dos funcionários do banco mediante suas obrigações para com os serviços que devem apresentar aos clientes. Isso não é nada fácil, não é nada palpável.

Entende-se que só seja possível tirar um consenso das opiniões de funcionários e clientes com relação à qualidade de vida no trabalho e à qualidade do serviço prestado, respectivamente, por meio da Matemática, através do uso da Lógica Difusa e Redes Neurais. É preciso, então, calcular um índice que indique a qualidade percebida pelos funcionários das condições de trabalho e calcular um índice que indique a qualidade percebida pelos clientes das condições do serviço prestado. Depois, ainda, avaliar a influência das condições de trabalho na qualidade do serviço prestado, através do cálculo do grau de correlação, apresentando instrumentos que auxiliem na avaliação da qualidade dos serviços bancários.

Acredita-se, assim, ser possível realizar a avaliação dos serviços bancários, através da utilização de Ferramentas da Ergonomia e de uma Modelagem Matemática. Uma vez que se considera também ser possível identificar a percepção que um indivíduo tem de seu ambiente de trabalho ou de determinado serviço que lhe é prestado, também se torna viável tirar um consenso das opiniões de um grupo de indivíduos questionados e desenvolver um índice que avalie a qualidade de vida no trabalho bancário, percebida pelos funcionários e outro índice que avalie a qualidade do serviço prestado, de acordo com a percepção dos clientes que fazem uso do mesmo. E, finalmente, tudo isso possibilitará ainda correlacionar os dois índices para verificar o grau de influência da qualidade de vida no trabalho sobre a qualidade dos serviços prestados.

Tudo isso requer um crescimento nítido dos requisitos relacionados às tecnologias de informação. Assim, além de desenvolver nos alunos dos cursos de educação profissional para bancos, as competências de informática relacionadas ao conhecimento dos sistemas operacionais, dos softwares de produtividade (como os softwares integrados, que incluem processador de texto, planilha eletrônica, programa de apresentação e banco de dados) e dos softwares de acesso à Internet, as instituições de educação profissional dirigidas aos bancos, devem aprofundar os estudos de avaliação para a inclusão em seus cursos de componentes curriculares que prevejam o desenvolvimento de competências de informática específicas. Podem ser mencionadas, entre outras, aquelas relacionadas ao uso de softwares de uso exclusivo de determinados segmentos de atividades, como os concebidos para reservas de passagens aéreas, controle de estoques, gerenciamento de máquinas-ferramenta de Controle Numérico Computadorizado (CNC), Computer Aided Design (CAD), serviços de georeferenciamento, edição de textos, tratamento de imagens, processamento de imagens para diagnósticos clínicos, dentre muitos outros (CASADO, 2004).

Além disso, os conhecimentos relacionados às técnicas e programas de qualidade e produtividade são bastante exigidos atualmente pelas organizações bancárias, o que deve incidir na demanda futura sobre profissionais técnicos capacitados para trabalhar nestas funções produtivas que envolvam tais conhecimentos.

Outra evidência observada nos trabalhos desenvolvidos em bancos é a maior importância do setor de serviços, o que impõe desafios para os programas de formação técnica. É que a prestação de serviços é uma atividade que coloca o profissional em contato direto e pessoal com o cliente, exigindo competências atitudinais, atributos pessoais e bons conhecimentos de Matemática, não dependendo só do Ensino Médio, mas de níveis mais elevados de escolaridade para os candidatos aos trabalhos nas organizações bancárias atuais.

Claro que, para os serviços de apoio administrativo do setor bancário, os requisitos de escolaridade dos candidatos, para as competências profissionais exigidas, podem se basear no Ensino Médio e mais algum conhecimento técnico específico da área, que aprimoram as dificuldades de comunicação e expressão verbal, de trabalho em equipe etc.

Por fim, por incrível que pareça, outras carências igualmente importantes que costumam ser identificadas nos funcionários dos bancos são as relacionadas aos conhecimentos de matemática básica, aquela de responsabilidade do Ensino Fundamental. Trata-se de competências essenciais para a formação de um alicerce sólido para a construção de qualquer proposta de educação profissional, bem como para o exercício de toda ocupação no contexto produtivo atual, até mesmo para as categorias de qualificação ocupacional mais baixas, e consideradas pelos empregadores como requisitos essenciais a todos os funcionários.

6.1. Tecnologia da Informação X Bancos X Oportunidades de Negócios

É bem difícil definir o que é Tecnologia da Informação (TI). Contudo, pode-se afirmar que, nos ambientes de negócios cada vez mais informatizados, como os bancos, a TI tornou-se tão presente, assim como na própria vida das pessoas, de modo geral, que ela chega a passar despercebida. Essa é a síntese da complexidade do setor.

6.1.1. As Origens da TI e o Aprimoramento Matemático

Numa definição bem simples, pode-se dizer que “Tecnologia da Informação é a aplicação da tecnologia no processamento de informações” (BRITO, 2001, p. 2).

Nessa ótica, a história da TI se confunde com a história do homem. De certa forma, considerando tecnologia como uma ferramenta, criada a partir de um conjunto de conhecimentos, que melhore um determinado processo ou condição humana, a linguagem pode ser considerada como a primeira forma de TI.

A partir do desenvolvimento das sociedades, lidar com as informações e processá-las da melhor forma tem sido uma busca contínua da humanidade. A necessidade de contar levou a criação do dígito e do sistema decimal (inspirados nos dedos humanos).

Foram então surgindo as primeiras ferramentas para auxiliar esse processo, sendo a mais antiga o ábaco (instrumento oriental de madeira e contas coloridas, que auxilia na realização de cálculos matemáticos), datado entre 1500 e 3000 a.C. (CASADO, 2004).

O aprimoramento matemático foi também bastante impulsionado pelo desenvolvimento do comércio. A necessidade do maior controle das quantidades de mercadorias produzidas, da realização de cálculos, impulsionou o desenvolvimento científico que permitiu a criação de ferramentas para o controle e manipulação das informações, desde os primeiros mecanismos de contagem até as calculadoras analógicas¹³.

O grande salto da TI, contudo, veio com a transição dos sistemas analógicos para os digitais, que operavam diretamente com os números, através do sistema binário¹⁴. Esse novo paradigma foi proporcionado pelos avanços da ciência nos campos da física, química e engenharia, que criaram a válvula, a tecnologia de armazenamentos de dados em meio magnético e os conceitos de programação embutida e memória digital (CASADO, 2004).

Em 1958, um fato tornou-se importante marco do desenvolvimento desta indústria. A Texas Instruments descobriu como reunir em uma única pastilha de silício todos os componentes de um circuito eletrônico, criando os circuitos integrados, que dariam origem ao chip. Com o início de sua produção comercial, foi possível produzir computadores em grande escala, o que gerou uma corrida tecnológica mundial, liderada pela IBM. A empresa iria decidir, anos mais tarde, abrir sua plataforma de programação, dando início à revolução do software e hardware, que abriu espaço para o desenvolvimento dos mainframes, minicomputadores e microcomputadores, baseados no sistema operacional DOS, da então desconhecida Microsoft (CASADO, 2004).

A partir daí, a padronização de um sistema operacional utilizado em larga escala permitiu a criação de programas que funcionassem em qualquer equipamento, o que deu a Microsoft o quase monopólio do setor. Desse modo, qualquer empresa interessada em desenvolver um equipamento ou programa compatível com o PC, precisaria comprar as ferramentas de programação da Microsoft. A empresa soube se aproveitar muito bem dessa vantagem evoluindo o DOS para o sistema Windows, que introduziu a interface gráfica ao PC e a colocou definitivamente entre os empreendimentos mais prósperos do século XX (CARR, 2003).

Em paralelo ao desenvolvimento das então nascentes indústrias de software e hardware, o mundo assistia ao desenvolvimento das redes de comunicação, que compõe como sendo a terceira das funções essenciais da TI: processamento, armazenamento e transporte de informação. Tal desenvolvimento foi responsável pela expansão significativa de uma indústria, a das Telecomunicações. Criada a partir do telégrafo e do telefone, essa indústria foi o berço na última década da telefonia celular, responsável por cerca de um terço das receitas desse setor¹⁵, e da Internet, rede mundial de computadores, que transformaria drasticamente as relações dos indivíduos e das organizações com a informação.

Para ilustrar o aumento da importância das Telecomunicações nos últimos anos é possível analisar o crescimento de sua participação no Produto Interno Bruto (PIB) do Brasil. Enquanto em 1990, as comunicações representavam 1,38% no valor adicionado a preços básicos do PIB, em 2002, esse número subiu para 2,72%, representando um crescimento de 97,10%, o segundo maior dentre todos os setores classificados (IBGE, 2003)¹⁶.

A associação da indústria da Computação à indústria das Telecomunicações é que forma o que hoje se conhece como TI (CARR, 2003).

6.1.2. Compreendendo a Dinâmica da Indústria

Carr (2003) defende que a importância da TI tem diminuído nas organizações, pelo fato de a tecnologia estar tão difundida na sociedade, que se tornou commodity. Assim, bons investimentos em TI não seriam mais diferencial para as empresas, que precisam buscar outras formas de competir (CLUBE, 2009).

Embora seja possível afirmar que grande parte da TI que se utiliza hoje tenha se tornado commodity, dizer que TI não gera diferencial tecnológico é ignorar o fato de que a indústria da TI está em constante e rápida evolução e de que novos padrões tecnológicos sempre surgirão, muitas vezes criando novos paradigmas que substituem os anteriores. Assim foi com a telefonia celular, com a própria Internet, com o e-mail e a tendência é de que assim seja com as tecnologias que ainda estão por vir. Seria despropositado afirmar que as empresas que investiram primeiro no e-mail não ganharam produtividade e agilidade nas comunicações, em relação as suas concorrentes.

Contrapondo Carr, seria mais apropriado dizer que parte da TI que se utiliza hoje se tornou commodity, isto é, foi amplamente difundida, a qual, para efeito de distinção, chamar-se-á aqui de TI Comum. Enquadra-se nessa categoria toda gama de tecnologias da informação que estão disponíveis de forma consolidada e comercialmente desenvolvida, para serem utilizadas nas mais diversas aplicações. É possível entender melhor esse conceito de TI Comum ao contrapô-lo ao de TI Aplicada. Nessa categoria estão as aplicações das tecnologias disponíveis em TI Comum. Por exemplo, utilizando as tecnologias da Internet, que estavam disponíveis de forma consolidada, foi possível criar uma aplicação de envio e recebimento de mensagens instantâneas. Em grande parte dos casos, as tecnologias disponíveis em TI Aplicada, são direcionadas a um determinado nicho ou segmento da indústria. Isso porque muitas das aplicações desenvolvidas a partir da TI Comum são específicas, como no caso de software de gerenciamento ou no de equipamentos eletrônicos para a área médica.

Na contramão desse caminho, há os casos em que as tecnologias aplicadas migram para a categoria básica, tornando-se TI Comum. Isso ocorre quando estas tecnologias passam a ser utilizadas por um grande número de indivíduos, como no caso do e-mail, que era uma aplicação da tecnologia disponível pela Internet e tornou-se padrão mundial. Enquadra-se aí o próprio microcomputador, que é resultado da aplicação de tecnologias básicas nas áreas de eletrônica disponíveis quando da sua criação (CLUBE, 2009).

O computador era naquela ocasião utilizado somente por grandes empresas, que necessitavam de alto poder de processamento. Hoje, está amplamente difundido e disponível, tornando-se base para a aplicação de outras tecnologias, logo, parte da TI Comum. Esse caminho de volta da tecnologia aplicada para a comum ocorre quando a aplicação é utilizada em grande escala, de forma ampla e consolidada, e perde as características que a definem como específica para um determinado segmento.

Podem ser citadas como tecnologias que estão atualmente se tornando TI Comum, vindas da TI Aplicada, os antivírus e sistemas de segurança, de modo geral, que há um bom tempo deixaram de ser preocupação exclusiva de bancos e governos; dentre outras. Além das categorias TI Comum e TI Aplicada, há a categoria de TI Básica. Nessa categoria, estão as tecnologias em desenvolvimento. São aquelas que ainda estão em fase de protótipo nos laboratórios de pesquisa e desenvolvimento de empresas e universidades. Tais tecnologias substituirão os padrões vigentes por outros, mais avançados.

Enquadram-se também, na TI Básica, os conhecimentos conceituais e os padrões tecnológicos que permitiram o desenvolvimento de tecnologias básicas. Um protocolo de comunicação, por exemplo, que define métodos matemáticos para a comunicação entre dois dispositivos digitais, não existe sozinho, sem que exista o software e o hardware que implementarão tais métodos. Não se trata de uma tecnologia na forma de software ou hardware, mas de um método conceitual, que deve ser aplicado em algum software ou equipamento para funcionar. A partir do momento que esse protocolo de comunicação é aplicado em um chip, que é então embutido em uma placa de rede, que passa a ser reconhecida por um software capaz de se comunicar utilizando o mesmo protocolo, então esta tecnologia tornam-se TI Comum, mas o protocolo em si, permanece como TI Básica.

Na TI Básica, portanto, está o conhecimento essencial que permite o desenvolvimento das tecnologias da informação.

Há na indústria da TI, na fronteira entre TI Básica e TI Comum, uma forte interação entre ciência e mercado, já que o setor é intensivo em pesquisa e desenvolvimento.

Dessa forma, as tecnologias em desenvolvimento na categoria TI Básica são produtos de pesquisa, que se tornam comerciais à medida que avançam para a categoria da TI Comum. Vai de encontro a essa idéia o fato de as maiores empresa da TI atuais, como HP, Intel e Microsoft, tenham surgido dentro de centros universitários e mantenham laboratórios privados de pesquisa.

Estão também, na fronteira entre TI Básica e TI Comum, os padrões tecnológicos abertos ou open standards. Tratam-se de tecnologias desenvolvidas de forma centralizada, padronizada e pública por uma organização isenta, responsável por ouvir as demandas do mercado e das empresas do setor e coordenar a evolução de tal padrão.

O objetivo dos processos de padronização é evitar que diferentes padrões tecnológicos de uma mesma aplicação gerem incompatibilidades na indústria. É o que ocorre quando empresas tentam impor seus formatos proprietários de tecnologia. Um exemplo foi a competição entre diferentes formatos de gravação e reprodução de vídeo, na década de 1980, que fazia com que fitas para videocassetes VHS não funcionassem nos modelos baseados na tecnologia BETAMAX.

Há, contudo, no esforço da indústria a caminho da padronização algumas contradições, já que padronizar significaria perder o domínio comercial sobre certas tecnologias.

Enquanto parte da indústria volta-se para criar aplicações proprietárias totalmente fechadas,.em oposição aos totalmente abertos, há uma terceira via, que utiliza parte dos conceitos do open standard, porém reserva-se aos direitos comercialização. Um exemplo é a Simbyan, empresa que desenvolve sistemas operacionais para telefones celulares, criada por um consórcio formado pelas principais fabricantes de aparelhos celulares do mundo.

É este o mesmo dilema que envolve a temática do software livre, da qual são ícones os sistemas Windows e Linux. A principal questão do dilema software livre vs. O proprietário é quem paga a conta pelo desenvolvimento. No meio dos extremos, estão empresas que adotam posicionamentos híbridos, desenvolvendo aplicações privadas para padrões públicos, abrindo partes de sues códigos-fonte ou concentrado seus modelos de negócio em serviços agregados à tecnologia.

Fica mais fácil entender o dilema da padronização e da abertura de código quando se pensa nos ciclos de desenvolvimento de tecnologia em TI. A velocidade com que a indústria cria novos padrões é tão grande, que o tempo necessário para que uma empresa imponha seu próprio padrão cria uma barreira de entrada a seus padrões, uma vez que rapidamente surgem evoluções daquela mesma tecnologia. Com tecnologias padronizadas, os novos padrões são adotados de forma coordenada por todos os players, fazendo com que os sistemas sejam compatíveis entre si e tornando a evolução para novas gerações tecnológicas muito mais simples.

À medida que os produtos mais modernos vão sendo adotados pelo mercado, o preço cai, dando lugar a uma nova geração tecnológica, mais eficiente, que se torna o novo “top de linha”. Após algum tempo, com a queda do preço, tal tecnologia se difunde no mercado, enquanto aquela anterior, que outrora estava no topo, é descontinuada.

É a adoção da lei de Moore, que garante a constância das margens das empresas da TI e dá previsibilidade ao mercado. Baseadas nessa dinâmica, é que elas conseguem realizar o planejamento de seus negócios no longo prazo. Exatamente por entenderem esse processo, que as grandes empresas investem pesadamente em pesquisa, pois precisam garantir o domínio sob as próximas gerações tecnológicas para manter suas taxas de crescimento.

Acompanha essa lógica, uma outra dinâmica, a dinâmica orientada ao surgimento de novos mercados a partir de uma nova tecnologia ou de uma nova geração tecnológica.

São nesses momentos, que a expectativa de ganho dos mercados pode ultrapassar o potencial real dos produtos e serviços desenvolvidos a partir de uma determinada tecnologia. Foi assim com a Internet, principalmente, nos EUA, e com a terceira geração da telefonia móvel, sobretudo na Europa. São as chamadas bolhas econômicas que possuem uma alta associação com o surgimento de novas tecnologias.

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Pode-se aferir como considerações finais, por meio de tudo o que foi visto neste estudo, a partir do estabelecimento de relações entre ensino e aprendizagem, processos cognitivos e ambientes informatizados, que estes últimos são ferramentas de grande potencial em projetos educativos, especialmente dentro do construtivismo. Percebe-se o quanto natural e intensa se tornam, nestes ambientes, as ações, reflexões e abstrações daqueles que aprendem e colocam em prática seu aprendizado, e muito mais aqueles ligados à Matemática.

O suporte oferecidos pelos ambientes não só ajudam a superação dos obstáculos inerentes ao próprio processo de construção do conhecimento matemático, mas também podem acelerar o processo de apropriação de conhecimento. Assim, tarefas que incorporem conceitos da Matemática podem ser trabalhadas qualitativamente, mesmo que os funcionários de uma organização não dominem a complexidade de suas equações ou não tenham tido quando alunos, na oportunidade de um primeiro contato com a geometria, por exemplo, a compreensão da natureza do conhecimento matemático. O certo é que, conforme os ambientes tornam-se mais ricos nos seus recursos, mais acessíveis vão se tornando aos alunos/funcionários as idéias matemáticas significativas e profundas. O ideal mesmo é que as organizações escolares, na forma que se apresentam hoje, por si só, possam garantir a construção do conhecimento. Para que haja avanço no conhecimento matemático, é importante que o professor projete as atividades a serem desenvolvidas. Uma tarefa difícil é conciliar o que se julga importante a ser aprendido (e é a Matemática socialmente aceita que fornece os parâmetros para tal) com a liberdade de ação do aluno. Assim, por exemplo, se o objetivo é o aprendizado da Geometria, atividades devem ser projetadas para tal. Nas escolas é preciso que hajam ambientes informatizados a disposição do aluno com programas de construção em Geometria; com isso, o aluno certamente vai aprender algo mais e com mais consistência.

Contudo, a apropriação de idéias matemáticas significativas nem sempre acontecem de forma espontânea, mesmo nestes ambientes, e assim um trabalho de orientação por parte do professor, se faz necessário. São os desafios propostos pelo professor que vão orientar o trabalho, desafios estes que se tornam de genuíno interesse dos alunos, desde que não sejam eles privados de suas ações e explorações.

Pode-se dizer que os ambientes informatizados apresentam-se ainda como simples ferramentas de suporte ao processo de ensino e aprendizagem. Infelizmente, as instituições de ensino ainda trabalham, em sua maioria, com modelos ultrapassados de ensino e aprendizagem, muito embora aos poucos a estrutura venha mudando. Isso significa que é o professor que precisa mudar, pois muitos ainda resistem aos tempos da informatização que vieram para ficar e, nesse contexto, precisam se atualizar na Matemática, se adequar aos ensinos desta disciplina em conformidade com as tecnologias da informação atual.

Todos já estão percebendo, especialmente nas médias e grandes organizações, o quanto os novos conteúdos de Matemática adequados à nova realidade deste novo século se tornaram importantes para capacitar os estudantes (os futuros funcionários) às competências das potentes tecnologias do mercado. Basta enxergar a grande necessidade das interações entre os participantes do processo educacional e entre os recursos disponíveis.

É um desafio que envolve aspectos como a própria construção dos ambientes, a formação de professores e novas propostas curriculares. Mas por outro lado, não é difícil pensar num futuro para a educação em que os ambientes informatizados vão ultrapassar sua função de simples ferramentas de apoio ao pensar, na forma que a psicologia cognitiva hoje explica, passando então a ter papel fundamental no próprio desenvolvimento de novas capacidades cognitivas do indivíduo, ainda hoje não imaginadas. E com conseqüências sobre a própria natureza do conhecimento e do conhecimento matemático, em particular.

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABRECHT, Roland. Avaliação formativa. Rio Tinto: ASA, 1994.

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1Segundo a nova ortografia, aqui já não há a necessidade de se colocar hífen.

2 Segundo a nova ortografia esta palavra não tem mais acento.

3 Ibidem, idem 1.

4 in Célia Maria Carolino Pires, “Didática da Matemática e seus Campos de Investigação”, PUC/SP, 1999, p.10.

5 Ibidem, idem 4.

6 In Secretaria da Educação Fundamental. “Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática”, DF, 1998.

7Em 1781 publicou o massivo "Crítica da Razão Pura", um dos livros mais importantes e influentes da moderna filosofia. Neste livro, ele desenvolveu a noção de um argumento transcendental para mostrar que, em suma, apesar de não podermos saber necessariamente verdades sobre o mundo "como ele é em si", estamos forçados a percepcionar e a pensar acerca do mundo de certas formas: podemos saber com certeza um grande número de coisas sobre "o mundo como ele nos aparece". Por exemplo, que cada evento estará causalmente conectado com outros, que aparições no espaço e no tempo obedecem a leis da geometria, da aritmética, da física,etc.

8Apud SILVA, J.J. Filosofia da matemática e filosofia da educação matemática. In: Pesquisa em Educação Matemática: Concepções e Perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999, p. 45-58.

9 Ibidem, idem 8.

10 In: SILVA, 1999, p. 17.

11Disponível em: http://www.educacao.sp.gov.br/noticias_%202008/2008_13_03.asp. Acesso em: 25 maio 2009.

12A ergonomia está preocupada em considerar características, expectativas, comportamentos humanos no planejamento daquilo que as pessoas usam em seu trabalho, na sua vida diária e no ambiente no qual elas trabalham e vivem.

13A palavra analógico vem de “análogo”. O termo é usado porque que um dispositivo analógico imita diretamente a informação que quer representar. No caso da primeira calculadora analógica, seu dispositivo baseava-se em discos que giravam de forma análoga ao sistema decimal, sendo que quando um disco chegava ao algarismo nove, girava em uma unidade o disco posterior e voltava ao valor zero. Um sinal de rádio analógico, por exemplo, imitam diretamente a forma, o tempo e a natureza do conteúdo do sinal que registram, seja som ou imagem. Isso traz uma série de limitações, quanto ao armazenamento, distorções e transmissão desse tipo de informação. Os sistemas digitais, ao contrário, transformam toda a informação em sinais binários, digitais, que podem ser armazenados, processados e transportados de forma muito mais eficiente.

14O sistema matemático binário utiliza dois algarismos (0 e 1) para representar os números e realizar cálculos. Em analogia, o sistema decimal utiliza dez algarismos (de 0 a 9) e é o sistema matemáticos regularmente utilizado.

15Conforme o IBGE (2001), a Telefonia Celular contribuiu com 35% das receitas do setor em 2001.

16IBGE, Participação das classes e atividades no valor adicionado a preços básicos - 1990-2002. Apenas o setor da Indústria do Açúcar teve crescimento relativo maior que Comunicações no período.