O PODER DO '0' E '1': COMO O SISTEMA BINÁRIO REVOLUCIONOU O MUNDO

1.   RESUMO

Este artigo aborda uma metodologia do gênero de revisão bibliográfica, em forma de pesquisa qualitativa e explica de forma sucinta, temas relacionados a matemática aplicada, mais precisamente, a matemática computacional. Tendo como objetivo principal a informática que está presente no cotidiano do homem moderno, demonstra como o sistema de numeração binário revolucionou o mundo e prova que sem os números binários e a álgebra de George Boole, o mundo que se conhece, seria completamente diferente. O artigo apresenta de forma objetiva, como se realiza a aritmética que envolve o sistema numérico binário utilizado pelos processadores e como se processa a conversão do sistema numérico decimal, do qual o homem utiliza para o sistema numérico binário que se opera nos computadores e equipamentos digitais, afim de que o usuário final interaja com imagens, vídeos, sons, dentre outros. Mostra a contribuição de cientistas visionários como Leibniz e sua teoria dos números binários até Babbage e seu primeiro computador mecânico. Também demonstra contribuições significativas de cientistas contemporâneos como Turing e sua teoria computacional até John Eckert e John Mauchly e seu primeiro computador para fins comerciais. Proporciona como resultado final, uma leitura agradável através dos fatos históricos que vai desde o nascimento dos sistemas de numeração até chegar na evolução dos computadores. Mostra como a ciência é magnífica e é um processo construído passo a passo com as contribuições significativas de cientistas notáveis de cada geração e porque o homem desfruta de um mundo com tantas tecnologias e comodidades.

Palavras-chave: Números binários. Bit. Byte. Álgebra booleana.

2. INTRODUÇÃO

Apresentar e demonstrar como o sistema numérico binário revolucionou o mundo, através de revisões bibliográficas, tendo como objeto de estudo a "Matemática Computacional".

O artigo propõe uma reflexão e uma razão de como apenas esses dois números '0' e '1', revolucionaram o modelo de vida da humanidade. Através da matemática computacional, será demonstrado os conceitos do sistema de numeração binário junto com a álgebra booleana e sua importância na transformação tecnológica do mundo. Também serão apresentadas as primeiras máquinas de calcular, inventadas pelos primeiros visionários, como Pascal e Babbage até a modelagem do computador moderno, como Turing e sua teoria computacional.

É necessário para os usuários de tecnologias em geral, conhecer os conceitos básicos dos computadores e seus processadores, pois são eles que norteiam nossas vidas. Não se pode simplesmente ser um mero usuário, mas sim compreender o funcionamento básico, pois a tecnologia da informação já é realidade no cotidiano do homem.

Não se pode realizar tarefas mecanicamente como analfabetos digitais, sem ter a mínima noção de como funciona o mundo digital. Enquanto países de primeiro mundo em educação, prepara seus alunos para serem futuros projetistas ou programadores, o Brasil, não pode permitir que seus jovens sejam apenas consumidores finais de tecnologias fabricadas no primeiro mundo.

Para despertar o interesse de como o mundo digital funciona, este artigo, utiliza uma metodologia de pesquisa do gênero de revisão bibliográfica, com uma abordagem qualitativa, tendo como eixo de pesquisa "Tópicos de Matemática Aplicada" e como objeto de estudo a "Matemática Computacional".

3. METODOLOGIA

Este trabalho foi realizado por meio de uma abordagem qualitativa. Tratou-se de pesquisa do gênero de revisão bibliográfica, onde o tema "O PODER DO '0' E '1': COMO O SISTEMA BINÁRIO REVOLUCIONOU O MUNDO", foi abordado de forma que um leigo no assunto, possa compreender com clareza e até aprofundar-se, pois a ciência é um dos objetos de estudo mais magnífico que existe.

O tema foi escolhido em razão de grande parte das pessoas serem meros usuários de tecnologias digitais, realizando tarefas quase que mecanicamente e não sabendo o mínimo que se passa, dentro do mundo tecnológico. Não existe aqui, a pretensão de tornar esses usuários em expert no mundo da informática, mas sim de esclarecer de forma sucinta e objetiva, como o mundo da informática funciona e porque os homens desfrutam dessa tecnologia nos dias atuais.

Escolheu-se uma abordagem qualitativa, por possuir um caráter mais exploratório e que induz as pessoas a uma reflexão da análise dos resultados, além de permitir uma investigação sobre fatos históricos que compõem este artigo, também valoriza o entendimento em cima de explicações e exemplos concretos.

Realizou-se uma busca de artigos e livros pertinentes ao assunto no Google, Google Acadêmico e na biblioteca virtual da instituição de ensino superior, com a qual se tinha vínculo na ocasião do curso de graduação.

As pesquisas foram selecionadas de acordo com a estrutura do artigo ou dos subtítulos que compõem este artigo. Em razão da quantidade de assuntos repetidos e quase sem nenhuma relevância para o artigo, foi utilizado o critério de cada subtítulo ter uma biografia interessante e sem muita demagogia para complementar a pesquisa.

As pesquisas selecionadas que complementam este artigo em forma de livros são: Jarletti (2018), Dias (2014), Idoeta e Capuano (2011), Shitsuka et al. (2009), Enciclopédia Nova Cultural (1988). Já para as pesquisas selecionadas que complementam este artigo em forma de sites são: Tristão (2020), Mentalidades Matemáticas (2020), Tecnorama (2020), Sampedro (2013).

Procurou-se compreender como os pesquisadores abordaram o tema pesquisado e quais informações eles apresentaram sobre as possíveis soluções. Realizou-se uma leitura aprofundada dos artigos, livros e sites, observando as contribuições desses autores sobre o tema "O PODER DO '0' E '1': COMO O SISTEMA BINÁRIO REVOLUCIONOU O MUNDO". Também se identificou no que os autores concordavam e no que apresentavam propostas diferentes.

Para o aprofundamento nas compreensões sobre o sistema de numeração binário e a álgebra booleana, os autores Idoeta e Capuano (2011) possuem um melhor conteúdo e uma didática excelente.

4. BREVE HISTÓRIA DOS NÚMEROS E DOS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

A necessidade de contar seres vivos ou objetos, sempre esteve presente na vida do homem e para solucionar esse problema, começou a utilizar simples artifícios como pedras e gravetos. É possível compreender então, mesmo que de forma abstrata, que o primeiro sistema numérico inventado pelo homem foi a pedra ou o graveto.

No passado, cada povo desenvolvia seu próprio sistema de numeração como os chineses, os romanos, os egípcios e os maias, dentre outros, sendo que a principal diferença era a forma da escrita e dos símbolos.

O sistema de numeração utilizado atualmente é o hindu-arábico e foi se aperfeiçoando com o tempo, ele é mais conhecido como sistema decimal pelo fato dos humanos possuírem dez dedos e através deles utilizar para contagem. Para cada dedo é utilizado um símbolo e é um sistema que favorece a resolução de operações matemáticas complexas DIAS (2014).

Além do sistema de numeração decimal, existem outros sistemas conhecidos como o sistema binário que é composto de 2 bases (0 e 1), o sistema de numeração octogonal, composto de 8 bases (0 à 7) e o sistema de numeração hexadecimal, que é composto por 16 bases, incluindo números e letras, consulte tabela 1 - Conversão de sistemas numéricos, no apêndice deste artigo.

Existem dois sistemas de numeração utilizados no nosso dia a dia, como o sistema de numeração de base 60 ou sexagesimal, que é utilizado para contar o tempo em forma de horas ou medir o ângulo em forma de graus e o sistema de numeração de base 12, muito utilizado nas compras domésticas (1 dúzia, duas dúzias e assim por diante).

Os sistemas de numeração é um assunto demasiadamente grande e com múltiplas possibilidades de base.

5. HISTÓRIA DOS NÚMEROS BINÁRIOS

Sobre os verdadeiros autores dos números binários, existem algumas divergências a serem anotadas. O jornal El Pais (2013), publica uma reportagem sobre dois pesquisadores chamados Andrea Bender e Sieghard Beller, do departamento de ciência psicossocial da Universidade de Bergen, na Noruega. Eles afirmam que os nativos da Mangareva, uma pequena ilha da Polinésia, já utilizavam o sistema de numeração binária como forma de contar peixes, frutas, cocos e outras coisas. Este sistema não eram exatamente o número '0' e '1' e sim potências da base 2, como o 1, 2, 4, 8, 16, 32 e assim sucessivamente. Essa pesquisa de Bender e Beller foi publicado na revista Proceedings of the National Academy of Science.

Já em um artigo publicado no link conhecimento científico do site R7 (2020), afirma que no século III a.C., o matemático indiano Pingala, é o autor da primeira versão do sistema de numeração binária.

Entre uma controvérsia e outra, a ciência afirma que o pai do sistema de numeração binária, que utiliza o modelo atual de '0' e '1', é o filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz, que no século XVII aperfeiçoou as combinações de '0' e '1'; encorajado pelo livro chinês "I Ching", também conhecido como livro das mutações, que descrevia o universo entre dualidades como: luz e trevas, macho e fêmea NOVA CULTURAL (1988).

Sobre os pioneiros do sistema de numeração binário, é sabido que não houve nenhuma utilidade prática do mesmo para o momento em que eles viviam.

6. EXPLICANDO OS NÚMEROS BINÁRIOS

Segundo Shitsuka et al. (2009), o mundo digital é composto pelo sistema de numeração binário para representar sons, imagens e sinais de comunicação, onde é utilizado uma sequência de '0' e '1'. O número '0' representa a unidade zero volt ou desligado e o número '1' representa a unidade cinco volts ou ligado.

Tudo o que você realiza no computador ou em outro dispositivo do mundo digital, ou seja, todas as entradas de dados, sons, imagens e sinais de comunicação, o computador converte para o sistema de numeração binário e depois de processados esses dados em número binário, converte para uma saída da qual o usuário está integrado. Você pode imaginar agora, o mundo sem o sistema de numeração binário?

6.1. Entendendo o Bit, Byte, Nyble e seus múltiplos

Palavras de origem inglesa como o bit e o byte, podem parecer estranhas num primeiro momento, mas são elas que definem a notação binária no mundo digital.

Para Shitsuka et al. (2009), o termo bit é a sigla de binary digit, ou digito binário. É a menor unidade no computador para representar um dado, podendo estar somente em dois estados '0' para desligado ou zero volt e '1' para ligado ou cinco volts.

Continuando com Shitsuka et al. (2009), ele nos explica que um conjunto de 8 bits corresponde a um 1 byte (8 bits = 1 byte), ou seja, o termo byte é a sigla de binary term, ou termo binário.

Nova Cultural (1988) complementa este assunto, afirmando que quatro bits correspondem a 1 nyble e 2 nybles é igual a 1 byte, acompanhe a demonstração abaixo.

Já para os múltiplos dos bytes, a representação é bem simples. Observe a tabela 2 - Múltiplos dos bytes logo abaixo.

Tabela 2 - Múltiplo dos bytes

Fonte: Shitsuka, et al. (2009).

6.2. Conversão do sistema numérico binário para o sistema numérico decimal

A conversão da base binária (base 2) na base decimal (base 10) envolve uma sucessão de multiplicação da direita para a esquerda, do número inicial da base binária (base 2), elevando a base a partir do zero, e incrementando-a de um a um, quando finalmente somaremos todos os números obtidos para encontrar o resultado da base decimal (SHITSUKA, et al. 2009, p.49).

Após ler a citação acima, a pergunta que norteia qualquer leigo em matemática computacional é a seguinte: Será que não existe uma maneira mais fácil de realizar essa conversão de binário para decimal, sem o uso da calculadora? Acompanhe a tabela 3 - Conversão do sistema binário para o sistema decimal logo abaixo e sua resposta estará dada.

Tabela 3 - Conversão do sistema binário para o sistema decimal

Fonte: Autor.

Observe que na 1ª linha, temos a base 2 com seus respectivos expoentes em ordem crescente, até um valor qualquer. Já na 2ª linha, temos o resultado do cálculo da 1ª linha.

No sistema de numeração binário, o '0' é desligado e o '1' é ligado, ou seja, somente efetuaremos operações na coluna em que o número '1' destacado em vermelho estiver presente, descartando todas as colunas em que o número '0' aparecer, pois o estado dele é de desligado e não nos interessa para efetuar a operação. É importante lembrar que sempre é inserido os números nas colunas da esquerda para a direita. Observe algumas transformações abaixo para exemplificar este assunto.

• 3ª linha - 11100101₂ = (1×2⁰) + (1×2²) + (1×2⁵) + (1×2⁶) + (1×2⁷) = 229₁₀

• 4ª linha - 101100011001₂ = (1×2⁰) + (1×2³) + (1×2⁴) + (1×2⁸) + (1×2⁹) + (1×2¹¹) = 2841₁₀

• 5ª linha - 100000₂ = (1×2⁵) = 32₁₀

Uma dica que simplifica em muito a operação é colocar os resultados da 1ª linha na 2ª linha, conforme demonstrado na tabela 3 - Conversão do sistema binário para o sistema decimal e logo a seguir, some todos os números da 2ª linha onde o número binário '1' destacado em vermelho aparecer, conforme os exemplos abaixo.

• 6ª linha - 1100101₂ = 64 + 32 + 4 + 1 = 101₁₀

• 7ª linha - 10001011000₂ = 1024 + 64 +16 + 8 = 1112₁₀

• 8ª linha - 10000001₂ = 256 + 1 = 257₁₀

6.3. Conversão do sistema numérico decimal para o sistema numérico binário

Para converter um número da base decimal em base binária, basta dividir o número decimal pela base binária (base 2), ou seja, dividir o número decimal por 2. Deve-se dividir sucessivas vezes por 2 até o quociente chegar no zero '0'. Pegam-se os respectivos restos da divisão, de baixo para cima, e estes darão como resultado o número binário (SHITSUKA, et al. 2009, p.49 e 50).

Acompanhe o exemplo abaixo e atente para a citação acima para compreender esta conversão.

Dividindo 61 por 2, teremos 30 de quociente. Este 30 do quociente será divido por 2 novamente e teremos 15 de quociente. O mesmo15 do quociente será dividido por 2 de novo e assim sucessivamente até o quociente zerar como está destacado em amarelo. Todos os restos estão destacados em vermelho e o resultado será esses restos da ordem de baixo para cima, logo 61₁₀ = 111101₂.

6.4. Conversão de números binários fracionários em números decimais

Idoeta e Capuano (2011), esclarece que este tipo de conversão é muito parecido com a conversão de números binários em números decimais, acrescentando somente os expoentes negativos da base 2. Para realizar esta conversão utilizaremos a tabela 4 - Conversão de números binários fracionários em números decimais. Compare a tabela 3 - Conversão do sistema binário para o sistema decimal com a tabela 4 - Conversão de números binários fracionários em números decimais e logo a diferença é notada.

Tabela 4 - Conversão de números binários fracionários em números decimais

Fonte: Autor.

O processo de transformação é o mesmo que o descrito no item 5.2 Conversão do sistema numérico binário para o sistema numérico decimal, o que muda é a inclusão dos números depois da vírgula nos expoentes que estão negativos, observe os exemplos abaixo.

• 1001110,01₂ = 64 + 8 + 4 + 2 + 0,25 = 78,25₁₀

• 110100101,1001₂ = 256 + 128 + 32 + 4 +1 +0,5 + 0,0625 = 421,5625₁₀

6.5. Conversão de números decimais fracionários em números binários

De acordo com Jarletti (2018), esta modalidade de conversão é realizada em duas partes: Na primeira parte, os números antes da vírgula são divididos como descrito no item 4.3 Conversão do sistema numérico decimal para o sistema numérico binário. Já para a segunda parte, que são os números depois da vírgula, é realizada uma operação de multiplicação com o número 2 em cima dos dígitos após a vírgula, até o resultado igualar a 1. Observe a demonstração abaixo.

• Converter 47,1875₁₀ para a base binária.

Note que a primeira parte é idêntica a conversão de decimal para binário. Já para a segunda parte, operamos somente com os números depois da vírgula.

0,1875 × 2 = 0,3750 dígito = 0

0,375 × 2 = 0,75 dígito = 0

0,75 × 2 = 1,5 dígito = 1 OBS: quando o resultado ultrapassa o valor de 1, é colocado um zero antes da vírgula, para a operação continuar, até o resultado atingir 1.

0,5 × 2 = 1 dígito = 1

Quando o resultado atingir 1, conforme o destaque em amarelo, encerra-se o processo. Assim, o resultado da segunda parte, é composta pelos dígitos que estão destacados em vermelho, é 0,1875₁₀ = 0,0011₂.

O resultado final da conversão 47,1875₁₀ = 101111,0011₂.

6.6. Aritmética do número binário

Seres humanos, realizam as quatro operações aritméticas básicas em sistema decimal e com o resultado em mãos, convertem para o sistema binário, mas para compreender como um processador de uma máquina digital opera os números binários, é demonstrado logo abaixo, o procedimento correto que as máquinas utilizam. São processos simples, que não necessitam explicações demasiadas.

6.6.1. Adição de números binários

Logo 100110₂ + 1011₂ = 110001₂ = 49₁₀. Para verificar o resultado correto, converta em decimal e compare os resultados das adições, conforme demonstrado acima.

6.6.2. Subtração de números binários

Logo 100110₂ - 1011₂ = 11011₂ = 27₁₀. Para verificar o resultado correto, converta em decimal e compare os resultados das subtrações, conforme demonstrado acima.

6.6.3. Multiplicação de números binários

Proceda a multiplicação do mesmo modo do sistema decimal, utilizando as regras gerais de multiplicação e adição.

Logo 100110₂ × 10₂ = 1001100₂ = 76₁₀. Para verificar o resultado correto, converta em decimal e compare os resultados das multiplicações, conforme demonstrado acima.

6.6.4. Divisão de números binários

Para realizar a divisão de números binários, deve-se proceder do mesmo modo utilizado para dividir números decimais, ou seja, multiplicando o quociente pelo divisor e o resultado deste subtrair no dividendo. Observe o exemplo a seguir, dividindo 38₁₀ por 2₁₀, conforme demonstrado abaixo.

• 38₁₀ = 100110₂

• 2₁₀ = 10₂

Note com atenção, que a divisão de números binários é o mesmo método de operação dos números decimais.

100110₂ ÷ 10₂ = 10011₂ = 19₁₀, pois, 38₁₀ ÷ 2₁₀ = 19₁₀, logo temos um resultado correto.

6.6.5. Notação dos números binários positivos e negativos

Idoeta e Capuano (2009), nos explica que os processadores operam com '0' e '1' e os sinais positivos e negativos não podem ser processados, para diferenciar um número positivo do negativo, é posto um bit de sinal à esquerda. Bit '0' para positivo e bit '1' para negativo, veja as notações abaixo.

• 55₁₀ = 110111₂

• + 110111₂ = 0110111₂ bit de sinal positivo é o '0' a esquerda do número

• ‒ 110111₂ = 1110111₂ bit de sinal negativo é o '1' a esquerda do número.

7. O PADRÃO DE COMUNICAÇÃO E O CÓDIGO ASCII

No início da era da informática, cada fabricante utilizava um padrão diferente de caracteres em seu computador, ou seja, a letra 'a' em um determinado fabricante poderia ser um número binário diferente de outro fabricante. O site Tecnorama (2020), nos esclarece que, com intuito de padronizar os diferentes alfabetos e idiomas que nos cercam, o cientista norte-americano Robert Willian Bemer, criou o código ASCII (American Standard Code for Information Interchange) para padronizar os caracteres numéricos, alfanuméricos e os sinais de controle do computador.

O código foi criado a partir de 7 bits, ou seja, uma combinação de sete '0' e '1', que formam 128 combinações possíveis (2⁷ = 128), sendo o oitavo bit, usado para checagem de transmissão. Atualmente, existem ligeiras modificações deste código, como o 'ç' usado no português e não usado em outros idiomas, mas nada que atrapalhe a comunicação entre os computadores.

Portanto, quando os computadores estão conectados na internet, eles estão se comunicando através de um código padrão que é o ASCII, tudo isso sendo feito através de números binários. Quando alguém digita a letra 'a' minúscula no computador, o mesmo entende um código binário formado por 0110 0001, que é diferente da letra 'A' maiúscula formada por 0100 0001. Existe também os sinais de controle, que são as teclas especiais do computador como ESC, DEL e assim por diante NOVA CULTURAL (1988).

Para visualizar todos os caracteres e códigos especiais, consulte tabela 5 - Código ASCII para sinais de controle (não-imprimíveis) e tabela 6 - Código ASCII para sinais gráficos (imprimíveis) dentro do apêndice.

8. A EVOLUÇÃO TECNOLÓGICA DOS COMPUTADORES - OS PRIMEIROS VISIONÁRIOS

Para atingir o nível de tecnologia de um computador atual ou de máquinas digitais que nos cercam, o homem percorreu um longo caminho. É sabido que os números binários, somente fizeram parte das máquinas e computadores, a partir dos meados do século XX. Antes disso, as máquinas e calculadoras que nos antecederam, foram primordiais para os estudos e aperfeiçoamento da tecnologia que hoje desfrutamos.

Historiadores são estudiosos que sempre divergem sobre a origem de algum fato histórico, mas um, em particular todos eles concordam. O ábaco foi a primeira máquina de calcular inventada pelo homem e utilizava o sistema numérico decimal.

Para Nova Cultural (1988), um passo significante foi dado para o avanço tecnológico em 1614, quando o matemático escocês John Napier publicou a teoria dos logaritmos e em 1617 inventou um dispositivo conhecido como "Ossos de Napier", que resolvia problemas de multiplicação. Anos mais tarde, em 1642 o francês Blaise Pascal inventou a primeira máquina de calcular composta por rodas e engrenagens, ela realizava somente uma operação: a adição. Oficialmente, a primeira máquina de calcular que realizava com facilidade as operações aritméticas de adição, multiplicação e divisão, foi inventada pelo gênio alemão Gottfried Wilhelm Leibniz em 1673, que introduziu um percursor no carro móvel e uma manivela manual, itens esses, que revolucionaram e foram utilizadas nas calculadoras posteriores. Passado mais de um século sem uma invenção significativa, o mecânico francês Joseph Marie Jacquard, construiu um tear para tecidos inteiramente automatizado, que utilizava cartões perfurados para cada tipo operação no processo de tear.

Segundo o site Mentalidades Matemáticas Brasil (2020), a ciência é a cooperação entre as pessoas através dos séculos. Inspirados nesses gênios e inventores citados acima, o matemático inglês Charles Babbage, foi o primeiro a inventar uma máquina calcular que efetivamente podemos classificar de computador mecânico. Babbage descreveu em 1822 num artigo científico, uma máquina que poderia computar e imprimir extensas tabelas científicas, originou-se a "Máquina de Diferenças", projeto este, que consumiu mais de dez anos e não obteve sucesso. Após esta decepção, em 1834, Babbage voltou-se para um projeto chamado de "Máquina Analítica", que teria a função de executar grandes tarefas computacionais a partir de uma sequência de instruções, possuía basicamente estruturas dos computadores atuais, com uma unidade de processamento de dados e outra de memória, além dos dispositivos de entrada que eram alimentados por cartões perfurados e possibilidade para realizar cálculos com até 50 dígitos. Babbage, teve uma contribuição decisiva de Ada Lovelace, uma exímia matemática do seu tempo, considerada a primeira programadora de computador por escrever os primeiros algoritmos, que continham controle de fluxo condicional, laços repetitivos e sub-rotinas ou procedimentos. Infelizmente, este projeto não obteve sucesso novamente, mas por volta dos anos de 1930, cientista voltaram a se aventurar no universo computacional, impulsionados pelas ideias originais de Babbage e Lovelace.

Monteiro (2007) finaliza este assunto, descrevendo um tabulador estatístico criado pelo americano Herman Hollerith. Utilizando cartões perfurados onde se registravam dados como idade, sexo, número de filhos, estado civil, dentre outros, a máquina de Hollerith realizou com êxito o censo de 1890. A companhia criada por Herman Hollerith, passou por várias fusões e mudanças de nomes, até que em 1924 ganhou o nome de International Business Machines Corporation, ou IBM.

9. ELETRÔNICA DIGITAL: A ÁLGEBRA BOOLEANA E AS PORTAS LÓGICAS

Até aqui, os estudos publicados e os equipamentos inventados pelos primeiros visionários que contribuíram para o avanço tecnológico da humanidade, eram do ponto vista, puramente mecânico e utilizavam o sistema numérico decimal.

A virada tecnológica, começou a partir de um matemático inglês chamado George Boole. Segundo Nova Cultural (1988), artigos como "A Análise Matemática da Lógica", publicado em 1847 e "Uma Investigação das Leis do Pensamento", publicado em 1854, causaram boa impressão no mundo acadêmico e revolucionaram a ciência da lógica. Uma nova forma de álgebra estava nascendo, com um sistema de símbolos e regras aplicáveis a qualquer situação, utilizando proposições que seriam provadas como verdadeiras ou falsas.

Continuando com Nova Cultural (1988), existem três operações primordiais na álgebra booleana, são elas: AND, OR e NOT. Outras operações compõem a álgebra booleana, mas são essas três fundamentais para realizar as quatro operações aritmética da matemática e executar ações como comparar símbolos e letras, através de dualidades como: 'zero' e 'um', 'aberto' e 'fechado', 'sim' e 'não', 'verdade' e 'falso', e assim por diante.

Para Idoeta e Capuano (2011), no início da era da eletrônica, sistemas analógicos eram a solução para os problemas através dos sistemas lineares. Somente em 1938, para solucionar problemas de circuitos de telefonia com relés, o engenheiro americano Claude Elwood Shannon, aplicou a teoria da álgebra booleana e entusiasmado com os resultados finais, publicou um artigo intitulado "Uma Análise Simbólica dos Circuitos de Relé e Comutação" e assim implementou a eletrônica digital ou os circuitos digitais, como conhecemos atualmente.

Nos computadores e nos dispositivos eletrônicos atuais, existe um dispositivo chamado 'chip', que é um circuito integrado capaz de armazenar dentro dele, milhares de combinações de portas lógicas como AND, OR e NOT formando uma extensa álgebra booleana com a finalidade de processar informações e resultar em uma única saída lógica. Para se ter uma noção do tamanho da ordem de grandeza, atualmente estamos na geração do nanochip.

Agora, tente imaginar o mundo sem George Boole e sua álgebra booleana e Gottfried Leibniz sem seu sistema de numeração binário? As portas lógicas básicas da álgebra booleana estão representadas na tabela 7 - Lógica booleana, dentro do apêndice.

Um circuito integrado ou CI é uma série de milhares de combinações de portas lógicas. Observe que na tabela 7 - Lógica booleana, está sendo utilizada duas entradas ('A' e 'B') para cada porta lógica e quatro saídas ('S') possíveis, pois 2² = 4; somente permitindo uma saída por operação. Existem portas lógicas com 'n' entradas e 'n' saídas possíveis, pois 2ⁿ = n. Para cada porta lógica, existe uma expressão da álgebra booleana, conforme está descrito do lado direito da tabela 7 - Lógica booleana.

10. A MODELAGEM DA MÁQUINA MODERNA

Segundo Nova Cultural (1988), a partir da década de 1930, os cientistas realmente realizaram progressos expressivos em torno de máquinas que realizassem operações complexas. Vannevar Bush, engenheiro americano, que em 1930 construiu um analisador diferencial, dá a largada para a corrida tecnológica que acompanhamos até hoje. Anos mais tarde, em 1936 o matemático inglês Alan Turing publica o genial artigo "Sobre os Números Computáveis", onde afirma que existem problemas sem solução, e que nem toda afirmação lógica pode ser comprovada através do sistema formal da matemática. Um ano depois em 1937, o engenheiro americano George Stibitz, construiu um somador binário e contribuiu com trabalhos expressivos na área de circuitos digitais, baseados na álgebra booleana.

Monteiro (2007) nos esclarece que, com o início da segunda guerra mundial, a corrida pela tecnologia se intensificou e a marinha americana em parceria com a IBM, construiu uma máquina chamada Mark 1, que continha relés eletromecânicos comutando ligado-desligado e com fitas perfuradas que forneciam instruções (programas) para manipulação de dados. Do outro lado da atlântico, o engenheiro alemão Konrad Zuse, constrói um computador operacional chamado Z3, com dispositivo controlado por programa e baseado no sistema binário, resolvendo problemas complexos desde engenharia de aeronaves até projetos de mísseis. Atravessando o canal da mancha, um projeto britânico liderado pelo cientista Alan Turing e outros notáveis para decodificar códigos secretos nazistas, levaram os britânicos a construírem em 1943 uma máquina chamada de Colossus, composta por válvulas eletrônicas que exploravam as combinações de símbolos no código germânico. Quase no fim da guerra, os americanos, liderados pelos cientistas John Eckert e John Mauchly projetaram uma máquina com o espírito do computador universal que Alan Turing teorizava, chamada de ENIAC (Eletronic Numerical Integrator and Computer), em português "Computador Eletrônico Numérico Integrador", foi o primeiro computador digital eletrônico de grande porte criado pelo homem, porque operava com válvulas eletrônicas de menor tensão e com cartões de memória interna, foi desenvolvida em conjunto com o exército americano para preparar tabelas de tiro de artilharia e tornou-se tão eficiente que foi utilizado para outros fins; quando entrou em operação a guerra já estava terminada.

Com o fim da segunda guerra, as nações envolvidas no conflito, perceberam o poder que essas máquinas poderiam oferecer e intensificou mais ainda, a corrida tecnológica. Para Nova Cultural (1988), poucos anos depois o sucessor do ENIAC já estava operando, chamado de "Computador Eletrônico de Variáveis Discretas", o EDVAC (Eletronic Discrete Variable Computer), foi planejado para operar com sistema binário, armazenava seus programas em sua memória interna e possuía uma unidade de leitura e de gravação. Enquanto isso, na Inglaterra, o cientista inglês Maurice Wilkes projetou em 1949 o EDSAC, nome para "Calculadora Automática com Armazenamento por Retardo Eletrônico" (Eletronic Delay Storage Automatic Calculator), com memória interna para leitura e gravação de programas.

Para Monteiro (2007), os computadores citados acima, eram exclusivamente restritos ao uso militar e científico. Até que John Eckert e John Mauchly, abriram sua própria firma e criaram o primeiro computador para uso comercial, chamado de "Computador Automático Universal", o UNIAC (Universal Automatic Computer), com memória interna para leitura e gravação dos programas, utilizou fita magnética em vez dos cartões perfurados, para realizar o censo norte americano de 1950.

O maior problema dos computadores, é que as válvulas eletrônicas utilizadas em sua arquitetura, aqueciam em demasia e em seguida queimavam, tornando a operação e a manutenção dos computadores, muito lento em alguns casos. Segundo Monteiro (2007), esse problema foi resolvido, com a criação em 1947 de um dispositivo eletrônico que ia revolucionar o mundo da eletrônica: o transistor. Inventado no laboratório da Bell Telephone pelos cientistas John Bardeen, Walter House Brittain e William Bradford Shockley, o transistor substitui as válvulas eletrônicas nos computadores e na eletrônica em geral, tornando-os mais rápidos, confiáveis e de menor tamanho, permitindo que os computadores, atingissem um público comercial maior e mais tarde o público em geral, tornando-os, uma ferramenta indispensável no cotidiano do homem moderno.

Segundo Monteiro (2007), a evolução dos computadores, é descrita de forma sucinta logo abaixo.

• 1ª Geração - Computadores a válvulas eletrônicas;

• 2ª Geração - Computadores transistorizados;

• 3ª Geração - Computadores com circuito integrado (chip);

• 4ª Geração - Computadores com microprocessadores.

11. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este artigo demonstra, que com uma investigação de fatos históricos e com a aplicação da matemática computacional, apenas dois números, '0' e '1' revolucionaram o mundo em que habitamos. Para o leigo ou o usuário final das tecnologias que nos cercam, um tema chamado "O poder do '0' e '1': Como o sistema binário revolucionou o mundo.", poderia causar estranheza ou até zombaria, porque é de fato, uma afirmação muito forte e controversa.

Através de revisões bibliográficas, foi apresentado inicialmente a história dos sistemas de numeração e a história do surgimento dos números binários. Também foram esclarecidos os principais conceitos dos números binários e termos como o bit e o byte, que compõem o mundo digital. Utilizando a matemática computacional, foi explicado como se opera a conversão dos sistemas binários e decimais e como os computadores realizam seus cálculos internos, utilizando da aritmética binária.

A abordagem de assuntos relacionados como a comunicação entre computadores ou a internet, foi apresentado o código ASCII e porque sua padronização foi importante para as comunicações.

Fatos históricos não foram deixados de lado, até porque não se explica a origem das coisas sem a história e os seus cientistas com suas teorias, como por exemplo: Napier e sua teoria dos logaritmos, Leibniz e sua teoria dos números binários, Boole e sua álgebra booleana e por fim Pascal e Babbage e suas criações.

Turing e sua teoria computacional, junto com outros cientistas contemporâneos, foram citados para que o leitor compreenda o caminho percorrido da evolução dos computadores.

Após a leitura deste artigo, é possível que o leitor, tenha uma visão mais ampla de como o mundo digital funciona e se interesse mais pelo assunto, pois a tecnologia da informação é o futuro que norteia a vida do homem e ele simplesmente não pode ser um mero usuário.

Devido a importância da tecnologia da informação e da automação no cotidiano do homem, urge a necessidade de uma disciplina de matemática computacional para os alunos do ensino médio.

A pergunta final para os leitores deste artigo é: Você se imagina viver em um mundo sem Leibniz e sua teoria do número binário e Boole e sua álgebra booleana? Reflita sobre a questão acima.

12. REFERÊNCIAS

A máquina analítica e a pré-história dos computadores. Mentalidades Matemáticas Brasil - Instituto Sidarta, 2020. Disponível em . Acesso em 18 set. 2020.

DIAS, N L. Pequena introdução aos números. Curitiba: Intersaberes, 2014.

ENCICLOPÉDIA NOVA CULTURAL. Entenda o computador - A revolução dos computadores. São Paulo: Nova Cultural, 1988.

IDEOTA, I V; CAPUANO, F G. Elementos da eletrônica digital. São Paulo: Érica, 2011.

JARLETTI, C. Cálculo numérico. Curitiba: Intersaberes, 2018.

MONTEIRO, M A. Introdução a organização dos computadores. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

O que é e a para que serve o ASCII. Tecnorama, 2020. Disponível em . Acesso em 20 set. 2020.

SAMPEDRO, J. Um sistema inventado na Polinésia século antes de Leibniz. Jornal El País. Madri, 16 dez. 2013. Disponível em: . Acesso em 17 set. 2020.

SHITSUKA, R. et al. Matemática fundamental para tecnologia. São Paulo: Érica, 2009.

Tabela ASCII. Wikipédia, 2016. Disponível em . Acesso em 03 out. 2020.

TRISTÃO, I. Números Binários - O que são, para que servem e como calculá-los. Conhecimento Científico R7. São Paulo, 08 jan. 2020. Disponível em: . Acesso em 15 set 2020.

13. APÊNDICE

Tabela 1 - Conversão de sistemas numéricos.

Fonte: Autor.

Tabela 5 - Código ASCII para sinais de controle (não-imprimíveis)

Fonte: Wikipédia (2016).

Tabela 6 - Código ASCII para sinais gráficos (imprimíveis)

Fonte: Wikipédia (2016).

Tabela 7 - Lógica booleana

Fonte: Idoeta e Capuano (2009)